À Retenir
Lorsque l’on manipule des formules ou des équations, il faut veiller à ce que la dimension des grandeurs de chaque coté de l’égalité soit cohérente!
Convention de sommation
\[\overrightarrow{V} = V_1 \overrightarrow{e}_1 + V_2 \overrightarrow{e}_2 + V_3 \overrightarrow{e}_3 = V_i \overrightarrow{e}_i \]
Lorsque l’on utilise les notations indicielles, sauf mention explicite, on utilise toujours les indices par paire. Donc, si dans un produit les indices apparaissent une seule fois ou trois fois ou plus ….. Il y a une erreur.
Symboles de Kronecker \[ \delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{si } i=j \\ 0 & \text{si } i\neq j \end{array} \right. \]
Produit tensoriel \[\overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v} = u_i \,v_j \, \overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j=\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {u_1 v_1 } \hfill & {u_1 v_2 } \hfill & {u_1 v_3} \hfill \\ {u_2 v_1 } \hfill & {u_2 v_2 } \hfill & {u_2 v_3 } \hfill \\ {u_3 v_1 } \hfill & {u_3 v_2 } \hfill & {u_3 v_3 } \hfill \\ \end{array} }} \right]\]
Symboles de permutation \[\varepsilon _{ijk} = \left\{ \begin{array}{rl} + 1 & \text{si (i,j,k)=(1,2,3), (2,3,1) ou (3,1,2)} \\ - 1 & \text{si (i,j,k)=(2,1,3), (1,3,2) ou (3,2,1)} \\ 0 & \text{si deux indices sont répétés} \end{array} \right.\]
\[\varepsilon _{ijk} \; \varepsilon _{imn} = \delta _{jm} \delta _{kn} - \delta_{jn} \delta _{km}\]
Produit vectoriel \[c{ }_i \overrightarrow{e}_i = \varepsilon _{ijk} a_j b_k \overrightarrow{e}_i\]
Quelques opérateurs \[div \;\overrightarrow {v}= v_{i,i}\] \[rot\;\overrightarrow {v} = \nabla \wedge \overrightarrow {v} = \varepsilon _{ijk} \; v_{k,j} \;\overrightarrow {e}_i\] \[\nabla \overrightarrow {v} = v_{i,j}\;\overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j \] \[div(\overline{\overline T} ) = T_{ij,j}\;\overrightarrow {e}_i\]