3 Analyse vectorielle
3.1 Généralités
On note d’une virgule la dérivée partielle, soit \(,i = \displaystyle\frac{\partial }{\partial x_i }\). Les opérateurs exposés dans cette partie seront exprimés dans un repère cartésien orthonormé.
L’opérateur divergence appliqué à un tenseur quelconque “\(\star\)” d’ordre \(p>1\) donne un tenseur d’ordre \(p-1\). \[Div \left(\star\right) = \nabla \cdot \left(\star\right) = \nabla \left(\star\right):\overline{\overline{I}} = \left(\star\right)_{,i} \cdot \overrightarrow{e}_i \tag{3.1}\]
L’opérateur gradient appliqué à un tenseur quelconque “\(\star\)” d’ordre \(p\) donne un tenseur d’ordre \(p+1\). \[\nabla \left(\star\right) = \left(\star\right)_{,i} \otimes \overrightarrow{e}_i \tag{3.2}\]
3.2 Quelques opérateurs usuels
* Soit f une fonction scalaire
Le gradient d’une fonction scalaire est un vecteur
\[\overrightarrow {grad}\;f =\nabla f= f_{,i} \;\overrightarrow {e}_i = \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_1 } \\ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_2 } \\ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_3 } \\ \end{array} \right\}\]
Le laplacien d’une fonction scalaire est un scalaire \[\Delta \;f = f_{,ii} \; = \frac{\partial ^2f}{\partial x_1^2 } + \frac{\partial ^2f}{\partial x_2^2 } + \frac{\partial ^2f}{\partial x_3^2 }\]
* Soit \(\overrightarrow {v}\) un vecteur
La divergence d’un vecteur est un scalaire \[Div\;\overrightarrow {v} = v_{i,i} = \frac{\partial v_1 }{\partial x_1 } + \frac{\partial v_2 }{\partial x_2 } + \frac{\partial v_3 }{\partial x_3 }\]
Le rotationnel d’un vecteur est un vecteur
\[rot\;\overrightarrow {v} = \varepsilon _{ijk} \; v_{k,j} \;\overrightarrow {e}_i = \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\displaystyle\frac{\partial v_3 }{\partial x_2 } - \displaystyle\frac{\partial v_2 }{\partial x_3 }} \hfill \\ {\displaystyle\frac{\partial v_1 }{\partial x_3 } - \displaystyle\frac{\partial v_3 }{\partial x_1 }} \hfill \\ {\displaystyle\frac{\partial v_2 }{\partial x_1 } - \displaystyle\frac{\partial v_1 }{\partial x_2 }} \hfill \\ \end{array} }} \right\}\]
Le gradient d’un vecteur est une matrice
\[\nabla\;\overrightarrow {v} = v_{i,j} \;\overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} {\displaystyle\frac{\partial v_1 }{\partial x_1 }} \hfill & {\displaystyle\frac{\partial v_1}{\partial x_2 }} \hfill & {\displaystyle\frac{\partial v_1 }{\partial x_3 }} \hfill \\ {\displaystyle\frac{\partial v_2 }{\partial x_1 }} \hfill & {\displaystyle\frac{\partial v_2}{\partial x_2 }} \hfill & {\displaystyle\frac{\partial v_2 }{\partial x_3 }} \hfill \\ {\displaystyle\frac{\partial v_3 }{\partial x_1 }} \hfill & {\displaystyle\frac{\partial v_3}{\partial x_2 }} \hfill & {\displaystyle\frac{\partial v_3 }{\partial x_3 }} \hfill \\ \end{array} }} \right]\]
Le laplacien d’un vecteur est un vecteur
\[\Delta \;\overrightarrow {v} = v_{i,jj} \,\overrightarrow {e}_i \; = \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\displaystyle\frac{\partial ^2v_1 }{\partial x_1^2 } + \displaystyle\frac{\partial ^2v_1 }{\partial x_2^2 } + \displaystyle\frac{\partial ^2v_1 }{\partial x_3^2 }} \hfill \\ {\displaystyle\frac{\partial ^2v_2 }{\partial x_1^2 } + \displaystyle\frac{\partial ^2v_2 }{\partial x_2^2 } + \displaystyle\frac{\partial ^2v_2 }{\partial x_3^2 }} \hfill \\ {\displaystyle\frac{\partial ^2v_3 }{\partial x_1^2 } + \displaystyle\frac{\partial ^2v_3 }{\partial x_2^2 } + \displaystyle\frac{\partial ^2v_3 }{\partial x_3^2 }} \hfill \\ \end{array} }} \right\}\]
* Soit \(\overline{\overline T}\) un tenseur du second ordre
La divergence d’un tenseur est un vecteur
\[Div\;\overline{\overline T} = T_{ij,j} \,\overrightarrow {e}_i = \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\displaystyle\frac{\partial T_{11} }{\partial x_1 } + \displaystyle\frac{\partial T_{12} }{\partial x_2 } + \displaystyle\frac{\partial T_{13} }{\partial x_3 }} \hfill \\ {\displaystyle\frac{\partial T_{21} }{\partial x_1 } + \displaystyle\frac{\partial T_{22} }{\partial x_2 } + \displaystyle\frac{\partial T_{23} }{\partial x_3 }} \hfill \\ {\displaystyle\frac{\partial T_{31} }{\partial x_1 } + \displaystyle\frac{\partial T_{32} }{\partial x_2 } + \displaystyle\frac{\partial T_{33} }{\partial x_3 }} \hfill \\ \end{array} }} \right\}\]
* Quelques formules utiles
\[Div\left( f\,\overrightarrow {a} \right) = \left( f\, a_i \right)_{,i} = f_{,i} \, a_i + f \, a_{i,i} = \nabla f \cdot \overrightarrow {a} + f \,\nabla \cdot \overrightarrow {a}\]
\[\overrightarrow {a} \wedge \overrightarrow {b} = \varepsilon _{ijk} \; a_j \; b_k \; \overrightarrow{e}_i\]
\[\begin{aligned}
div \left(\overrightarrow {a} \wedge \overrightarrow {b} \right) &= \left( \varepsilon _{ijk} \; a_j \; b_k \; \right)_{,i} \\
&= \varepsilon _{ijk} \; a_{j,i} \; b_k + \varepsilon _{ijk} \; a_j \; b_{k,i}
\end{aligned}\]
Par ailleurs, on a \[rot\;\overrightarrow {a} = \varepsilon _{pqr} \; a_{r,q} \;\overrightarrow {e}_p \]
et
\[\overrightarrow {b} \cdot rot\;\overrightarrow {a} = \varepsilon _{pqr} \; a_{r,q} \;b_p \]
soit en échangeant les indices \(p\) et \(k\), \(q\) et \(i\), \(r\) et \(j\) et en utilisant les propriétés du produit mixte \[\overrightarrow {b} \cdot rot\;\overrightarrow {a} = \varepsilon _{kij} \; a_{j,i} \; b_k = \varepsilon _{ijk} \; a_{j,i} \; b_k \] En utilisant les calculs déjà faits \[\overrightarrow {a} \cdot rot\;\overrightarrow {b} = \varepsilon _{pqr} \; b_{r,q} \;a_p \]
soit en échangeant les indices \(q\) et \(i\), \(r\) et \(k\), \(p\) et \(j\) et en utilisant les propriétés du produit mixte \[\overrightarrow {a} \cdot rot\;\overrightarrow {b} = \varepsilon _{jik} \; b_{k,i} \;a_j = - \varepsilon _{ijk} \; b_{k,i} \;a_j\]
c’est-à-dire
\[Div\left( {\overrightarrow {a} \wedge \overrightarrow {b}} \right) = \overrightarrow {b} \cdot rot\,\overrightarrow {a} - \overrightarrow {a} \cdot rot\,\overrightarrow {b} \]
\[rot\;\overrightarrow {a} = \varepsilon _{ijk} \; a_{k,j} \;\overrightarrow {e}_i \] \[Div\left( rot\,\overrightarrow {a} \right) = \left( \varepsilon _{ijk} \; a_{k,j} \right)_{,i} = \varepsilon _{ijk} \; a_{k,j} = - \varepsilon _{jik} \; a_{k,j}\] donc
\[Div\left( {rot\,\overrightarrow {a}} \right) = - Div\left( {rot\,\overrightarrow {a}} \right)\]
c’est-à-dire
\[Div\left( {rot\,\overrightarrow {a}} \right) = 0 \]
\[ \nabla f = f_{,i} \overrightarrow {e}_i\] \[rot \left( {\nabla\,f} \right) = \varepsilon _{ijk} \; f_{,kj} \;\overrightarrow {e}_i = - \varepsilon _{ikj} \; f_{,jk} \;\overrightarrow {e}_i = \overrightarrow {0}\]
\[\nabla\,\left( {f\,g} \right) = \left( {f\,g} \right)_{,i} \;\overrightarrow {e}_i = f_{,i} \, g\;\overrightarrow {e}_i + f \, g_{,i}\;\overrightarrow {e}_i = \nabla f\,g + f\,\nabla g\]
\[ \begin{aligned} rot\left( {f\,\overrightarrow {a}} \right) &= \varepsilon _{ijk} \; \left( f\, a_k \right)_{,j} \;\overrightarrow {e}_i \\ &= \varepsilon _{ijk} \; f_{,j} \, a_k \;\overrightarrow {e}_i + \varepsilon _{ijk} \; f \, a_{k,j} \;\overrightarrow {e}_i \\ &= \nabla f \wedge \overrightarrow {a} + f \; rot\overrightarrow {a} \end{aligned}\]
\[\nabla\,f = f_{,i} \;\overrightarrow {e}_i\] \[Div\left( {\nabla\,f} \right) = \left( {f_{,i} } \right)_{,i} = f_{,ii} = \Delta \,f\]
\[rot\overrightarrow {a} = \varepsilon _{ijk} \; a_{k,j} \;\overrightarrow {e}_i \] \[rot\overrightarrow {b} = \varepsilon _{pqr} \; b_{r,q} \;\overrightarrow {e}_p \] \[ \begin{aligned}rot\left( {rot\,\overrightarrow {a}} \right) &= \varepsilon _{pqr} \; \left( \varepsilon _{rjk} \; a_{k,j} \right)_{,q} \;\overrightarrow {e}_p \\ &= \varepsilon _{rpq} \; \varepsilon _{rjk} \; a_{k,jq} \;\overrightarrow {e}_p \\ &= \delta _{pj} \; \delta _{kq} \; a_{k,jq} \;\overrightarrow {e}_p - \delta _{pk} \; \delta _{jq} \; a_{k,jq} \;\overrightarrow {e}_p \\ &= a_{k,jk} \;\overrightarrow {e}_j - a_{k,jj} \;\overrightarrow {e}_k \\ &= \nabla\,\left( {Div\,\overrightarrow {a}} \right) - \Delta \overrightarrow {a} \end{aligned}\]
3.3 Transformation d’intégrales
Soit \(\Omega\) un domaine borné et \(\partial \Omega\) sa frontière, de normale \(\overrightarrow {n}\).
Soit \(\varphi\) une fonction scalaire, alors
\[\int\!\!\!\int_{\partial \Omega } {\varphi \;\overrightarrow {n}\;dS} = \int\!\!\!\int\!\!\!\int_\Omega {\overrightarrow {grad}\;\varphi \;dV}\]
Soit \(\overrightarrow {A}\) un vecteur, alors
\[\int\!\!\!\int_{\partial \Omega } {\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {n}\;dS} = \int\!\!\!\int\!\!\!\int_\Omega {Div(\overrightarrow {A})\;dV}\]
Soit \(\overline{\overline T}\) un tenseur d’ordre \(2\), alors
\[\int\!\!\!\int_{\partial \Omega } {\overline{\overline T} \cdot \overrightarrow {n}\;dS} = \int\!\!\!\int\!\!\!\int_\Omega {Div(\overline{\overline T} )\;dV}\]
Soit \(\partial \Omega\) un domaine plan de normale \(\overrightarrow {n}\), de frontière \(\Gamma\) . Soit \(\overrightarrow {U}\) un vecteur défini sur ce domaine. Si \(\overrightarrow {\tau }\) est le vecteur unitaire tangent à \(\Gamma\) , alors
\[\int\!\!\!\int_{\partial \Omega } {r\overrightarrow {o}t(\overrightarrow {U}) \cdot \overrightarrow {n}\;dS} = \int_\Gamma {\overrightarrow {U} \cdot \overrightarrow {\tau }\;dl}\]
Tous ces résultats sont issus du théorème de la divergence
\[\int\!\!\!\int_{\partial \Omega } {t_{jkl} n_l \;dS} = \int\!\!\!\int\!\!\!\int_\Omega {t_{jkl,l} \;dV}\]