À Retenir
Une grandeur attachée à une particule (masse volumique, vitesse,...) peut être définie,
- Soit en fonction de la position initiale et du temps, \(\overrightarrow {X}\) et t : variables de Lagrange
- Soit en fonction de la position actuelle et du temps, \(\overrightarrow {x}\) et t : variables d’Euler
Dérivée particulaire
\[\frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t} + \nabla\,A \cdot \overrightarrow {V}\]
Vitesse
\[\overrightarrow {V} = \frac{d\overrightarrow {x}}{dt} \]
Accélération
\[ \overrightarrow {\Gamma } = \frac{d\overrightarrow {V}}{dt} = \frac{\partial \overrightarrow {V}}{\partial t} + \nabla \,\overrightarrow {V} \cdot \overrightarrow {V}\]
Application linéaire tangente
\[\overline{\overline F} = \left[ {{\begin{array}{*{20}c}
{\displaystyle\frac{\partial x_1 }{\partial X_1 }} \hfill &
{\displaystyle\frac{\partial x_1 }{\partial X_2 }} \hfill &
{\displaystyle\frac{\partial x_1 }{\partial X_3 }} \hfill \\
{\displaystyle\frac{\partial x_2 }{\partial X_1 }} \hfill &
{\displaystyle\frac{\partial x_2 }{\partial X_2 }} \hfill &
{\displaystyle\frac{\partial x_2 }{\partial X_3 }} \hfill \\
{\displaystyle\frac{\partial x_3 }{\partial X_1 }} \hfill &
{\displaystyle\frac{\partial x_3 }{\partial X_2 }} \hfill &
{\displaystyle\frac{\partial x_3 }{\partial X_3 }} \hfill \\
\end{array} }} \right]\]
Tenseur des déformations
\[\overline{\overline \varepsilon } =
\frac{1}{2}\left( {\overline{\overline F}
^T\,\overline{\overline F} - \overline{\overline I} }
\right)\]
Tenseur des déformations sous l’hypothèse des petites perturbations
\[\varepsilon _{ij_{_{HPP}}} \; \overrightarrow {e}_i \otimes
\overrightarrow {e}_j = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial u_i
}{\partial X_j }\, + \;\frac{\partial u_j }{\partial X_i }}
\right)\; \overrightarrow {e}_i \otimes
\overrightarrow {e}_j\]
Transport d’un volume
\[d\Omega = Det {\overline{\overline F} } \; d\Omega _0\]
Transport d’une surface
\[ds\;\overrightarrow {n} = \det (\overline{\overline
F} )\;\overline{\overline F} ^{ - T}dS\;\overrightarrow {N}\]
Dérivée d’une intégrale de volume
\[\frac{d}{dt} \int\!\!\!\int\!\!\!\int_{\Omega (t)}
{k(\overrightarrow {x},t)\;d\Omega }= \int\!\!\!\int\!\!\!\int_{\Omega (t)} {\left( {\frac{dk}{dt} + k\;div\overrightarrow {v}} \right)\;d\Omega }\]
Dérivée d’une intégrale de surface
\[\frac{d}{dt} \int\!\!\!\int_{\Sigma (t)} {\overrightarrow
{k}(\overrightarrow {x},t) \cdot \overrightarrow {n}\;d\Sigma }= \int\!\!\!\int_{\Sigma (t)} {\left(
{\frac{d\overrightarrow {k}}{dt} + div\overrightarrow
{v}\,\overrightarrow {k} - \nabla\,\overrightarrow
{v}\;\overrightarrow {k}} \right) \cdot \overrightarrow {n}d\Sigma
}\]
\[\frac{d\rho }{dt} + \rho \;div\overrightarrow {v} = 0\quad \quad \text{ou}\quad \frac{\partial \rho }{\partial t} + div\left( {\rho \overrightarrow {v}} \right) = 0\]
\(\overrightarrow {x}\) est une position : \(\overrightarrow {x} \; \equiv \;[m]\)
\(\overrightarrow {u}\) est un déplacement : \(\overrightarrow {u} \; \equiv \;[m]\)
\(\overrightarrow {v}\) est une vitesse, dérivée de la position par rapport au temps : \(\overrightarrow {v} \; \equiv \;\left[ \displaystyle\frac{m}{s} \right]\)
\(\overrightarrow {\gamma}\) est une accélération, dérivée de la vitesse par rapport au temps : \(\overrightarrow {\gamma} \; \equiv \;\left[ \displaystyle\frac{m}{s^2} \right]\)
\(\overline{\overline F }\), application linéaire tangente, est le gradient d’une position : \(\overline{\overline F } \; \equiv \;[-]\)
\(\overline{\overline \varepsilon }\), tenseur des déformations, est homogène à un gradient de déplacement : \(\overline{\overline \varepsilon } \; \equiv \;[-]\)
\(\rho\), la densité, est une masse par unité de volume : \(\rho \; \equiv \;\left[ \displaystyle\frac{kg}{m^3} \right]\)