2 Calcul vectoriel
2.1 Les symboles de permutation
On introduit les symboles de permutation
\[\varepsilon _{ijk} = \left\{ \begin{array}{rl} + 1 & \text{si (i,j,k)=(1,2,3), (2,3,1) ou (3,1,2)} \\ - 1 & \text{si (i,j,k)=(2,1,3), (1,3,2) ou (3,2,1)} \\ 0 & \text{si deux indices sont répétés} \end{array} \right. \tag{2.1}\]
Ces symboles représentent le produit mixte des vecteurs de base
\[\varepsilon _{ijk} = \left( \overrightarrow {e}_i ,\overrightarrow {e}_j ,\overrightarrow {e}_k \right) = \left( \overrightarrow {e}_i \wedge \overrightarrow {e}_j \right)\cdot \overrightarrow {e}_k \] Donc en particulier \(\varepsilon _{ijk} = \varepsilon _{jki}\), mais \(\varepsilon _{ijk} = - \varepsilon _{jik}\).
\(\varepsilon _{ijk}\) sont les composantes d’un tenseur du troisième ordre, qui représente, par exemple, la forme trilinéaire produit mixte:
\[\left( {\overrightarrow {U},\overrightarrow {V},\overrightarrow {W}} \right) = \varepsilon _{ijk}\; U_i V_j W_k\]
Avec un peu de patience on peut démontrer les résultats suivants
\[\left\{ \begin{array}{l} \varepsilon _{ijk} \; \varepsilon _{lmn} = Det\left[ \begin{array}{ccc} \delta _{il} & \delta _{im} & \delta _{in} \\ \delta _{jl} & \delta _{jm} & \delta _{jn} \\ \delta _{kl} & \delta _{km} & \delta _{kn} \\ \end{array} \right] \\ \varepsilon _{ijk} \; \varepsilon _{imn} = \delta _{jm} \delta _{kn} - \delta_{jn} \delta _{km} \\ \varepsilon _{ijk} \; \varepsilon _{ijn} = 2\delta _{km} \\ \varepsilon _{ijk} \; \varepsilon _{ijk} = 6 \\ \end{array} \right. \tag{2.2}\]
2.2 Déterminant d’une matrice
Les symboles de permutation permettent le calcul du déterminant d’une matrice par
\[ \varepsilon _{ijk} Det(A) = \varepsilon _{mnp} A_{im} A_{jn} A_{kp} \tag{2.3}\]
ou encore
\[Det(A) = \frac{1}{6}\;\varepsilon _{ijk} \varepsilon _{mnp} A_{im} A_{jn} A_{kp}\]
On peut également déterminer l’inverse d’une matrice
\[B = A^{ - 1}\quad \quad et\quad B_{ji} = \frac{1}{2Det(A)}\;\varepsilon _{imn} \varepsilon _{jpq} A_{mp} A_{nq}\]
2.3 Polynôme caractéristique
Les valeurs propres d’un tenseur du second ordre sont obtenues par la résolution de l’équation caractéristique
\[P(\lambda ) = Det(A - \lambda I)\]
soit en développant
\[\frac{1}{6}\varepsilon _{ijk} \varepsilon _{mnp} (A_{im} - \lambda \delta _{im} )(A_{jn} - \lambda \delta _{jn} )(A_{kp} - \lambda \delta _{kp} ) = 0\]
ou encore
\[P(\lambda ) = I_3 - \lambda I_2 + \lambda ^2I_1 - \lambda ^3\]
avec
\[\left\{ {{\begin{array}{l} {I_3 = \frac{1}{6}\varepsilon _{ijk} \varepsilon _{mnp} A_{im} A_{jn} A_{kp} = Det(A)} \\ {I_2 = \frac{1}{2}\left( {A_{ii} A_{jj} - A_{ij} A_{ji} } \right) = \frac{1}{2}\left( {(Tr\;A)^2 - Tr\;A^2} \right)} \\ {I_1 = A_{ii} = Tr\;A} \\ \end{array} }} \right.\]
\(I_{1}\),\(I_{2}\),\(I_{3}\) sont appelés les invariants fondamentaux du tenseur A.
2.4 Adjoint d’un tenseur antisymétrique
Soit \(\Omega\) un tenseur antisymétrique
\[\Omega = \left[ {\begin{array}{ccc} 0 & \Omega _{12} & - \Omega _{31} \\ - \Omega _{12} & 0 & \Omega _{23} \\ \Omega _{31} & - \Omega _{23} & 0 \\ \end{array} } \right]\]
on peut également lui associer le vecteur
\[\overrightarrow {\omega } = \left\{ {{\begin{array}{c} \omega _1 \\ \omega _2 \\ \omega _3 \\ \end{array} }} \right\} = \left\{ {{\begin{array}{c} \Omega _{23} \\ \Omega _{31} \\ \Omega _{12} \\ \end{array} }} \right\}\]
soit
\[\Omega = \left[ {{\begin{array}{ccc} 0 & \omega _3 & - \omega _2 \\ - \omega _3 & 0 & \omega _1 \\ \omega _2 & - \omega _1 & 0 \\ \end{array} }} \right]\]
Le vecteur \(\overrightarrow {\omega }\) est le vecteur adjoint du tenseur antisymétrique \(\Omega\). En notation indicielle on a:
\[\left\{ {{\begin{array}{l} {\Omega _{ij} = \varepsilon _{ijk} \; \omega _k } \\ {\omega _i = \textstyle{1 \over 2}\; \varepsilon _{ijk} \; \Omega _{jk} } \\ \end{array} }} \right.\]
2.5 Produit vectoriel
\[\overrightarrow {c} = \overrightarrow {a} \wedge \overrightarrow {b}\]
s’écrit en notation indicielle
\[c{ }_i \overrightarrow{e}_i = \varepsilon _{ijk} a_j b_k \overrightarrow{e}_i \tag{2.4}\]
On peut montrer que
D’après Equation 2.4, on a \[\overrightarrow {a} \wedge \overrightarrow {b} = \varepsilon _{ijk} \; a_j \; b_k \; \overrightarrow{e}_i\]
et
\[\overrightarrow {d} \wedge \overrightarrow {c} = \varepsilon _{pqr} \; d_q \; c_r \; \overrightarrow{e}_p\]
On remplace la \(q^\textrm{ième}\) composante de \(\overrightarrow {d}\) par la \(q^{\textrm{ième}}\) composante de \(\overrightarrow {a} \wedge \overrightarrow {b}\)
\[ \left( \overrightarrow {a} \wedge \overrightarrow {b} \right) \wedge \overrightarrow {c} = \varepsilon _{pqr} \; \left( \varepsilon _{qjk} \; a_j \; b_k \; \right) \; c_r \; \overrightarrow{e}_p\]
Par ailleurs, par définition \(\varepsilon _{pqr} = \varepsilon _{qrp}\), donc \[ \left( \overrightarrow {a} \wedge \overrightarrow {b} \right) \wedge \overrightarrow {c} = \varepsilon _{qrp} \; \varepsilon _{qjk} \; a_j \; b_k \; c_r \; \overrightarrow{e}_p\]
or, d’après Equation 5.1, \(\varepsilon _{qrp} \; \varepsilon _{qjk} = \delta _{rj} \; \delta _{pk} - \delta _{rk} \; \delta _{pj}\), donc \[ \left( {\overrightarrow {a} \wedge \overrightarrow {b}} \right) \wedge \overrightarrow {c} = \delta _{rj} \; \delta _{pk} \; a_j \; b_k \; c_r \; \overrightarrow{e}_p - \delta _{rk} \; \delta _{pj}\; a_j \; b_k \; c_r \; \overrightarrow{e}_p\]
et finalement en simplifiant les symboles de Kronecker \[ \left( {\overrightarrow {a} \wedge \overrightarrow {b}} \right) \wedge \overrightarrow {c} = \; a_j \; b_k \; c_j \; \overrightarrow{e}_k - \; a_j \; b_k \; c_k \; \overrightarrow{e}_j\]
soit \[ \left( {\overrightarrow {a} \wedge \overrightarrow {b}} \right) \wedge \overrightarrow {c} = \left( {\overrightarrow {a} \cdot \overrightarrow {c}} \right)\overrightarrow {b} - \left( {\overrightarrow {b} \cdot \overrightarrow {c}} \right)\overrightarrow {a} \]
Soient \(\overrightarrow {u}\) et \(\overrightarrow {v}\), deux vecteurs tels que, en utilisant Equation 2.4, \[\overrightarrow {u} = \overrightarrow {a} \wedge \overrightarrow {b} = \varepsilon _{ijk} \; a_j \; b_k \; \overrightarrow{e}_i\]
\[\overrightarrow {v} = \overrightarrow {c} \wedge \overrightarrow {d} = \varepsilon _{pqr} \; c_q \; d_r \; \overrightarrow{e}_p\] et le produit scalaire de ces deux vecteurs \[\overrightarrow {u} \cdot \overrightarrow {v} = u_i \; v_i\]
donc
\[\left( {\overrightarrow {a} \wedge \overrightarrow {b}} \right) \cdot \left( {\overrightarrow {c} \wedge
\overrightarrow {d}} \right) = \left( \varepsilon _{ijk} \; a_j \; b_k \right) \left( \varepsilon _{iqr} \; c_q \; d_r \right) \] \[\left( {\overrightarrow {a} \wedge \overrightarrow {b}} \right) \cdot \left( {\overrightarrow {c} \wedge
\overrightarrow {d}} \right) = \delta_{jq} \; \delta_{kr} \;a_j \; b_k \; c_q \; d_r - \delta_{jr} \; \delta_{kq} \;a_j \; b_k \; c_q \; d_r\] soit après simplification des symboles de Kronecker
\[\left( {\overrightarrow {a} \wedge \overrightarrow {b}} \right) \cdot \left( {\overrightarrow {c} \wedge
\overrightarrow {d}} \right) = a_j \; b_k \; c_j \; d_k - \; a_j \; b_k \; c_k \; d_j\]
c’est-à-dire
\[\left( {\overrightarrow {a} \wedge \overrightarrow {b}} \right) \cdot \left( {\overrightarrow {c} \wedge
\overrightarrow {d}} \right) = \left( {\overrightarrow {a} \cdot
\overrightarrow {c}} \right)\left( {\overrightarrow {b} \cdot
\overrightarrow {d}} \right) - \left( {\overrightarrow {a} \cdot
\overrightarrow {d}} \right)\left(
{\overrightarrow {b} \cdot \overrightarrow {c}} \right) \]