À Retenir
\[\overrightarrow {T}(\overrightarrow{x},t,\overrightarrow {n}) = \overline{\overline \sigma } (\overrightarrow {x},t)\;\overrightarrow {n}\]
L’application \(\overline{\overline \sigma } (x,t)\) s’appelle le tenseur des contraintes de Cauchy en \(x\) à l’instant \(t\); il caractérise, dans la configuration actuelle, les efforts intérieurs de cohésion exercés sur une partie du solide à travers l’élément de surface \(\overrightarrow {n} d\Sigma\)
\[\overrightarrow {f}(\overrightarrow{x},t)\; + \;div_x \overline{\overline \sigma } (\overrightarrow{x},t)\; = \; \rho\;\overrightarrow {\gamma}\quad \quad \forall \;\overrightarrow{x}\; \in \;\Omega (t)\]
\[\overline{\overline \sigma } (\overrightarrow{x},t) \cdot \overrightarrow {n}(\overrightarrow{x},t)\; = \;\left\{ {\begin{array}{l} \overrightarrow {F}_e (\overrightarrow{x},t)\quad \quad \forall \;\overrightarrow{x}\; \in \;\partial \Omega _F (t) \\ \overrightarrow {R}(\overrightarrow{x},t)\quad \quad \;\forall \;\overrightarrow{x}\; \in \;\partial \Omega _U (t) \\ \end{array}} \right.\;\]
La matrice représentant le tenseur des contraintes est symétrique, elle est donc diagonalisable. Les valeurs propres sont réelles et appelées contraintes principales (\(\sigma _{I}\), \(\sigma _{II}\), \(\sigma _{III})\). Les vecteurs propres, orthogonaux deux à deux, sont les directions principales \(\left( {\overrightarrow {n}_I ,\overrightarrow {n}_{II} ,\overrightarrow {n}_{III} } \right)\).
La contrainte de cisaillement maximale est déterminée par le rayon du grand cercle, soit: \[\tau _{max} \; = \;\frac{ | \sigma _I \; - \;\sigma _{III} | }{2}\]
\(\overline{\overline \sigma }\) est un effort de cohésion par unité de surface : \(\overline{\overline \sigma } \; \equiv \;\left[ \displaystyle\frac{N}{m^2} \right] \; = \;[Pa]\)
\(\overrightarrow {f}\) est une force par unité de volume : \(\overrightarrow {f} \; \equiv \;\left[ \displaystyle\frac{N}{m^3} \right]\)
\(\overrightarrow {F}\) est une force par unité de surface : \(\overrightarrow {F} \; \equiv \;\left[ \displaystyle\frac{N}{m^2} \right] \; = \;[Pa]\)
\([N] = [kg] \left[ \displaystyle\frac{m}{s^2} \right]\)