13 Le problème d’élasticité
13.1 Écriture générale
Cinématique : + Équations de compatibilité \[\overline{\overline \varepsilon } = \frac{1}{2}\left( {\nabla\,\overrightarrow {u} + \nabla^T\overrightarrow {u}} \right)\]
\[\overrightarrow {u} = \overrightarrow {U}_0 (X)\quad sur\;\partial \Omega _U\]
Équilibre : \[div\,\overline{\overline\sigma } + \overrightarrow {f} = \rho \overrightarrow{\gamma}\quad \quad dans\;\Omega\]
\[\overline{\overline \sigma } \,\overrightarrow {n} = \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} \overrightarrow {F} & {sur\;\partial \Omega _F } \\ \overrightarrow {R} & {sur\;\partial \Omega _U } \\ \end{array} }} \right.\]
Loi de comportement :\[\overline{\overline \sigma } = \lambda Tr(\overline{\overline \varepsilon } )\overline{\overline I} + 2\mu \overline{\overline \varepsilon }\]
13.2 Formulation en déplacement
\[\begin{aligned} div\,\overline{\overline \sigma } + \overrightarrow {f} = \overrightarrow{0}\\div\,(\lambda Tr(\overline{\overline \varepsilon } )\overline{\overline I} + 2\mu \overline{\overline \varepsilon } ) + \overrightarrow {f} = \rho \overrightarrow{\gamma} \\ \lambda \nabla(Tr(\overline{\overline \varepsilon } )) + 2\mu div(\overline{\overline \varepsilon } ) + \overrightarrow {f} = \rho \overrightarrow{\gamma} \\ \lambda \nabla(div\,\overrightarrow {u}) + \mu div(\nabla\,\overrightarrow {u}) + \mu div(\nabla^T\overrightarrow {u}) + \overrightarrow {f} = \rho \overrightarrow{\gamma} \\ \end{aligned}\]
soit l’équation de Navier
\[\label{eq3_10} (\lambda + \mu )\nabla(div\,\overrightarrow {u}) + \mu div(\nabla\,\overrightarrow {u}) + \overrightarrow {f} = \rho \overrightarrow{\gamma}\]
Remarque: Si le champ de forces volumiques est tel que \(div\overrightarrow {f} = \overrightarrow {0}\) et que l’on prend la divergence de l’équation de Navier, alors
\[(\lambda + 2\mu )\Delta (div\,\overrightarrow {u}) = 0\]
si bien que \(div\,\overrightarrow {u}\) est une fonction harmonique.
13.3 Formulation en contrainte
En partant de l’écriture des équations de compatibilité, on peut démontrer les équations de Michell
\[\label{eq3_11} div(\nabla\,\overline{\overline \sigma } ) + \frac{1}{1 + \nu }\nabla(\nabla\,Tr(\overline{\overline \sigma } )) + \frac{\nu }{1 - \nu }div\overrightarrow {f}\,\overline{\overline I} + \nabla\overrightarrow {f} + \nabla^T\overrightarrow {f} = \overline{\overline 0}\]
Soit, si le champ de force est uniforme, on obtient les équations de Beltrami.
\[(1 + \nu )div(\nabla\,\overline{\overline \sigma } ) + \nabla(\nabla\,Tr(\overline{\overline \sigma } )) = \overline{\overline 0} \tag{13.1}\]
13.4 Théorème de superposition
Si \((\overrightarrow {U},\overrightarrow {f},\overrightarrow {F})\) et \((\overrightarrow {V},\overrightarrow {g},\overrightarrow {G})\) sont deux jeux de données engendrant respectivement des solutions \(\overrightarrow {u}\) et \(\overrightarrow {v}\), alors \(\alpha \overrightarrow {u}+\beta \overrightarrow {v}\) est solution du problème de données \((\alpha \overrightarrow {U} + \beta \overrightarrow {V},\;\alpha \overrightarrow {f} + \beta \overrightarrow {g},\;\alpha \overrightarrow {F} + \beta \overrightarrow {G})\) (Le problème est évidemment linéaire).
13.5 Élasticité plane
13.5.1 Contraintes planes
Dans le cas où le chargement est dans le plan \(12\), la structure mince dans la direction \(3\), on peut faire l’hypothèse que le problème est plan et libre de contraintes dans la direction \(3\).
Dans ce cas
\[\overline{\overline \sigma } = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} {\sigma _{11} (x_1 ,x_2 )} \hfill & {\sigma _{12} (x_1 ,x_2 )} \hfill & 0 \hfill \\ {\sigma _{21} (x_1 ,x_2 )} \hfill & {\sigma _{22} (x_1 ,x_2 )} \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\ \end{array} }} \right]\]
et d’après la loi de comportement
\[\overline{\overline \varepsilon } = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} {\varepsilon _{11} (x_1 ,x_2 )} \hfill & {\varepsilon _{11} (x_1 ,x_2 )} \hfill & 0 \hfill \\ {\varepsilon _{21} (x_1 ,x_2 )} \hfill & {\varepsilon _{22} (x_1 ,x_2 )} \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & 0 \hfill & {\varepsilon _{33} (x_1 ,x_2 )} \hfill \\ \end{array} }} \right]\]
On remarquera que la déformation suivant 3 est non nulle.
13.5.2 Déformations planes
Dans le cas où le chargement est dans le plan \(12\), la structure très élancée dans la direction \(3\), sans possibilités de déplacement suivant \(3\), on peut faire l’hypothèse que le problème est plan sous l’hypothèse des déformations planes.
Dans ce cas
\[\overline{\overline \varepsilon } = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} {\varepsilon _{11} (x_1 ,x_2 )} \hfill & {\varepsilon _{12} (x_1 ,x_2 )} \hfill & 0 \hfill \\ {\varepsilon _{21} (x_1 ,x_2 )} \hfill & {\varepsilon _{22} (x_1 ,x_2 )} \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\ \end{array} }} \right]\]
et d’après la loi de comportement
\[\overline{\overline \sigma } = \left[ {{\begin{array}{*{20}c} {\sigma _{11} (x_1 ,x_2 )} \hfill & {\sigma _{12} (x_1 ,x_2 )} \hfill & 0 \hfill \\ {\sigma _{21} (x_1 ,x_2 )} \hfill & {\sigma _{22} (x_1 ,x_2 )} \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & 0 \hfill & {\sigma _{33} (x_1 ,x_2 )} \hfill \\ \end{array} }} \right]\]
On remarquera que la contrainte suivant \(3\) est non nulle.
D’après Equation 12.2
\[\varepsilon _{33} = \frac{1 + \nu }{E}\sigma _{33} - \frac{\nu }{E}\left( {\sigma _{11} + \sigma _{22} + \sigma _{33} } \right) = 0\]
donc
\[\sigma _{33} = \nu \left( {\sigma _{11} + \sigma _{22} } \right)\]
Nous allons prouver que les contraintes peuvent être déterminées par une seule fonction scalaire.
En appliquant l’équation d’équilibre Equation 9.2 on a :
\[\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\sigma _{11,1} + \sigma _{12,2} = 0} \hfill \\ {\sigma _{21,1} + \sigma _{22,2} = 0} \hfill \\ \end{array} }} \right.\]
donc
\[\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\exists \varphi (x_1 ,x_2 )\quad / \;\sigma _{11} = \varphi _{,2} \quad et\quad \sigma _{12} = - \varphi _{,1} } \hfill \\ {\exists \psi (x_1 ,x_2 )\quad / \;\sigma _{21} = \psi _{,2} \quad et\quad \sigma _{22} = - \psi _{,1} } \hfill \\ \end{array} }} \right.\]
comme le tenseur des contraintes est symétrique, on a \(\psi _{,2} + \varphi _{,1} = 0\), donc
\[\exists \chi (x_1 ,x_2 )\quad / \;\varphi = \chi _{,2} \quad et\quad \psi = - \chi _{,1}\]
en définitive on a prouvé
\[\exists \chi (x_1 ,x_2 )\quad / \;\left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\sigma _{11} = \chi _{,22} } \hfill \\ {\sigma _{22} = \chi _{,11} } \hfill \\ {\sigma _{12} = - \chi _{,12} } \hfill \\ \end{array} }} \right.\]
\(\chi\) est appelée la fonction d’Airy.
Le tenseur des contraintes devant vérifier l’équation de Beltrami Equation 13.1, on a
\[(1 + \nu )\sigma _{ij,kk} + \sigma _{kk,ij} = 0\]
d’où
\[\Delta \Delta \chi = 0\]
\(\chi\) est donc une fonction biharmonique.
13.6 Thermoélasticité
13.6.1 Thermodynamique : équations de bilan
Jusqu’à présent nous avons utilisé les équations de bilan suivantes:
Conservation de la masse \[\frac{d\rho }{dt} + \rho \;div\overrightarrow {v} = 0\quad \quad\]
Conservation de la quantité de mouvement \[div\,\overline{\overline \sigma } + \overrightarrow {f} = \rho \overrightarrow{\gamma}\quad \quad dans\;\Omega\]
Conservation du moment cinétique Equation 9.3
Nous introduisons maintenant l’équation de bilan de conservation d’énergie, ou encore le premier principe de la thermodynamique:
\[\frac{d}{dt} \left( E+K \right)=P_{ext}+Q\]
où
\(E\) représente l’énergie interne \(E = \int\limits_\Omega {\rho e \;d\Omega }\) (\(e\) densité d’ énergie interne)
\(K\) représente l’énergie cinétique \(K = \int\limits_\Omega {\displaystyle\frac {1}{2} \rho \overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {v}\;d\Omega }\) (\(\overrightarrow {v}\) la vitesse)
\(P_{ext}\) représente la puissance des efforts extérieurs \(P_{ext} = \int\limits_\Omega {\overrightarrow {f} \cdot \overrightarrow {v}\;d\Omega } + \int\limits_{\partial \Omega } {\overrightarrow {F} \cdot \overrightarrow {v}\;d\Omega }\)
\(Q\) représente le taux de chaleur reçu \(Q = \int\limits_\Omega {r\;d\Omega } - \int\limits_{\partial \Omega } {\overrightarrow {q} \cdot \overrightarrow {n}\;d\Omega }\) (\(q\) vecteur de chaleur et \(r\) source de chaleur)
Par application du premier principe, en utilisant Equation 7.7 on a:
\[\int\limits_\Omega {\rho \frac{de}{dt} \;d\Omega } +\int\limits_\Omega {\rho \overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {\gamma}\;d\Omega } =\int\limits_\Omega {\overrightarrow {f} \cdot \overrightarrow {v}\;d\Omega } + \int\limits_{\partial \Omega } {\overrightarrow {F} \cdot \overrightarrow {v}\;d\Omega } +\int\limits_\Omega {r\;d\Omega } - \int\limits_{\partial \Omega } {\overrightarrow {q} \cdot \overrightarrow {n}\;d\Omega }\]
en utilisant la conservation de la quantité de mouvement Equation 9.2
\[\int\limits_\Omega {\rho \frac{de}{dt}\;d\Omega } =
\int\limits_\Omega {\overline{\overline \sigma }
:\overline{\overline \varepsilon } \;d\Omega } +
\int\limits_\Omega {r\;d\Omega } - \int\limits_{\partial \Omega }
{\overrightarrow {q} \cdot \overrightarrow {n}\;d\Omega }\]
Soit, par application du théorème de la divergence, la forme locale du premier principe
\[\rho \dot {e} = \overline{\overline \sigma } :\overline{\overline \varepsilon } + r - div\overrightarrow {q}\]
Nous présentons également, sans plus de discussion le second principe de la thermodynamique:
\[\frac{dS}{dt} \ge \int\limits_\Omega {\frac{r}{T}\;d\Omega } - \int\limits_{\partial \Omega } {\frac{\overrightarrow {q} \cdot \overrightarrow {n}}{T}\;d\Omega }\]
où \(T\) est la température et \(S\) l’entropie. Ce second principe s’écrit sous sa forme locale
\[\rho \dot {s} + div\frac{\overrightarrow {q}}{T} - \frac{r}{T} \ge 0\]
où \(s\) représente l’entropie massique
13.6.2 Équation de la chaleur
On peut exprimer l’énergie interne massique \(e\) en fonction de l’entropie massique \(s\), de la température \(T\) et l’énergie libre \(\psi\).
\[\label{ee} e = \psi + Ts\]
En thermoélasticité, sous l’hypothèse des petites perturbations, pour un écart de température par rapport à la température au repos \(T - T_0\) petit, on a:
\[\psi = \psi (\overline{\overline \varepsilon } ,T)\]
Grace au second principe on peut montrer que
\[\overline{\overline \sigma } = \rho \frac{\partial \psi }{\partial \overline{\overline \varepsilon } }\quad \text{et} \quad s = - \frac{\partial \psi }{\partial T}\]
donc, le premier principe peut s’écrire
\[\rho \dot {e} = \rho \dot {\psi } + \rho \dot {T}s + \rho T\dot {s}\]
et comme
\[\dot {\psi } = \frac{\partial \psi }{\partial \overline{\overline {\varepsilon }} }:\overline{\overline{ \dot {\varepsilon }}} + \frac{\partial \psi }{\partial T}\dot {T} = \frac{\overline{\overline {\sigma } }}{\rho }: \overline{\overline{ \dot {\varepsilon }}} - s\dot {T}\]
on a
\[\overline{\overline {\sigma }} :\overline{\overline {\dot {\varepsilon }}} - \rho s\dot {T} + \rho \dot {s}T + \rho s\dot {T} = \overline{\overline {\sigma }} :\overline{\overline {\dot {\varepsilon }}} + r - div\overrightarrow {q}\]
or
\[\dot {s} = \dot {\left( { - \frac{\partial \psi }{\partial T}} \right)} = - \frac{\partial ^2\psi }{\partial \overline{\overline {\varepsilon }} \partial T}:\overline{\overline{ \dot {\varepsilon }}} - \frac{\partial ^2\psi }{\partial T^2}\dot {T} = - \frac{1}{\rho }\frac{\partial \overline{\overline {\sigma }} }{\partial T}:\overline{\overline {\dot {\varepsilon }}} + \frac{\partial s}{\partial T}\dot {T}\]
c’est à dire que le premier principe s’écrit
\[- T\frac{\partial \overline{\overline {\sigma } }}{\partial T}:\overline{\overline {\dot {\varepsilon }}} + \rho T\frac{\partial s}{\partial T}\dot {T} = r - div\overrightarrow {q}\]
En introduisant la chaleur spécifique \(C = T\displaystyle\frac{\partial s}{\partial T}\)
\[- T\frac{\partial \overline{\overline {\sigma } }}{\partial T}:\overline{\overline {\dot {\varepsilon }}} + \rho C\dot {T} = r - div\overrightarrow {q}\]
puis la loi de Fourier \(\overrightarrow {q} = - \overline{\overline k} \nabla T\), où \(\overline{\overline{k}}\) représente la conductivité thermique,
\[- T\frac{\partial \overline{\overline {\sigma }} }{\partial T}:\overline{\overline {\dot {\varepsilon }}} + \rho C\dot {T} = r + div\overline{\overline {k}} \nabla T\]
En général la contribution mécanique est négligeable par rapport aux autres contributions, si bien que l’équation de bilan de l’énergie conduit à l’équation de la chaleur :
\[\rho C\dot {T} = \rho C\left( {\frac{\partial T}{\partial t} + \overrightarrow {v} \cdot \nabla T} \right) = r + div\overline{\overline k} \; \nabla T \tag{13.2}\]
Dans le cas où le problème à traiter est stationnaire, sans source de chaleur, avec une conductivité constante, on retrouve l’équation habituelle :
\[\Delta T = 0\]
13.6.3 Loi de comportement thermo-élastique
Dans le cadre de la thermo-élasticité , l’énergie libre spécifique s’écrit comme un développement limité au second ordre en déformation et température, ou plutôt en déformation et écart de température \(\tau=T-T_0\) (supposés “ petits ”) :
\[\rho \psi (\overline{\overline \varepsilon } ,T) = \frac{1}{2}\overline{\overline \varepsilon } :\overline{\overline {\overline{\overline C} }} :\overline{\overline \varepsilon } - \rho s\tau - \frac{1}{2}\rho b\tau - \overline{\overline \beta } :\overline{\overline \varepsilon } \,\tau\]
Par définition
\[\overline{\overline \sigma } = \rho \frac{\partial \psi }{\partial \overline{\overline \varepsilon } }(\overline{\overline \varepsilon } ,T) = \overline{\overline {\overline{\overline C} }} :\overline{\overline \varepsilon } - \overline{\overline \beta } \tau = \overline{\overline {\overline{\overline C} }} :\left( {\overline{\overline \varepsilon } - \overline{\overline \alpha } \tau } \right)\]
où \(\overline{\overline{\alpha}}\) représente le tenseur des dilatations thermiques
Dans le cas isotrope la loi de comportement thermo-élastique s’écrit :
\[\overline{\overline \sigma } = \lambda Tr(\overline{\overline \varepsilon } )\overline{\overline I} + 2\mu \overline{\overline \varepsilon } - (3\lambda + 2\mu )\overline{\overline \alpha } \tau \tag{13.3}\]