À Retenir

Loi de comportement élastique linéaire isotrope

\[\overline{\overline \sigma } \; = \; \lambda \; Tr(\overline{\overline \varepsilon } ) \; \overline{\overline I} \; + \; 2\;\mu \;\overline{\overline \varepsilon }\]

\[\overline{\overline \varepsilon } \; = \; - \;\frac{\nu }{E}\;Tr(\overline{\overline \sigma } )\;\overline{\overline I} \; + \; \frac{1\; + \;\nu }{E}\;\overline{\overline \sigma }\]

Le problème d’élasticité

Dans le domaine : \[\overline{\overline \varepsilon } = \frac{1}{2}\left( {\nabla\,\overrightarrow {u} + \nabla^T\overrightarrow {u}} \right)\] \[div\,\overline{\overline\sigma } + \overrightarrow {f} = \rho \overrightarrow{\gamma}\] \[\overline{\overline \sigma } \; = \; \lambda \; Tr(\overline{\overline \varepsilon } ) \; \overline{\overline I} \; + \; 2\;\mu \;\overline{\overline \varepsilon }\]

avec les conditions aux limites : \[\overline{\overline \sigma } \,\overrightarrow {n} = \overrightarrow {F} \text{sur}\;\partial \Omega _F \] \[\overrightarrow {u} = \overrightarrow {U}_{imp} \text{sur}\;\partial \Omega _U \]

Équation de la chaleur

\[\rho C\dot {T} = \rho C\left( {\frac{\partial T}{\partial t} + \overrightarrow {v} \cdot \nabla T} \right) = r + div\overline{\overline k} \; \nabla T\]

Rappel sur les unités

• Les coefficients de Lamé sont homogènes à une contrainte : \(\lambda, \mu \; \equiv \;\left[ \displaystyle\frac{N}{m^2} \right] \; = \;[Pa]\)

• Le module d’Young \(E\) est homogène à une contrainte : \(E \; \equiv \;\left[ \displaystyle\frac{N}{m^2} \right] \; = \;[Pa]\)

• D’après la loi de comportement, le coefficient de Poisson \(\nu\) est sans dimension : \(\nu \; \equiv \;[-]\)