Exercices
On considère un massif délimité par les plans \(x_2 ≤ 0\) et \(x_1 \cos \alpha + x_2 \sin \alpha ≤0\) où \(\alpha\) est un angle donné.
Dans ce massif, en équilibre sous l’action d’efforts extérieurs, règne le champ de contraintes suivant :
\[\overline{\overline \sigma } = \left[ \begin{array}{ccc}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & 0 \\
\sigma_{21} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \nu \sigma_{11} \end{array} \right]\]
avec \(0<\nu<1/2\) et
\[\sigma_{11} = \rho \, g \left( - x_1 \tan\alpha + x_2 \left( 1-2\tan^2 \alpha\right) \right)\]
\[\sigma_{12} = \rho \, g \, x_2 \, \tan \alpha\]
- Déterminer les densités volumiques et surfaciques d’efforts extérieurs exercés sur le massif.
- Calculer la contrainte tangentielle maximale.
- Pour déterminer les forces volumiques à l’intérieur du massif, on applique l’équation d’équilibre: \[\overrightarrow {f} = -div\overline{\overline{\sigma}}= - \left\{ \begin{array}{c} \sigma_{11,1} + \sigma_{12,2} \\ \sigma_{21,1} \\ \nu \sigma_{11,3} \end{array} \right\} = - \left\{ \begin{array}{c} -\rho g \tan\alpha+ \rho g \tan\alpha \\ 0 \\ 0 \end{array} \right\}=\overrightarrow {0}\] Il n’y a donc aucune force volumique participant à l’équilibre du massif.
Pour le bord du domaine \(x_2=0\) On cherche les efforts surfaciques exercés sur le massif par le milieu extérieur. On note \(\overrightarrow {n}=\overrightarrow {e}_2\) le vecteur normal unitaire sortant à la surface \(x_2=0\) et \(\overrightarrow {F_I}\) la force surfacique exercée par le milieu extérieur sur le massif. On a: \[\overrightarrow {F_I} = \overline{\overline{\sigma}} \cdot \overrightarrow {n} = \left[ \begin{array}{ccc}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & 0 \\
\sigma_{21} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \nu \sigma_{11} \end{array} \right] \cdot \left\{ \begin{array}{c} 0 \\
1 \\ 0 \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{c} \sigma_{12} \\
0 \\ 0 \end{array} \right\}\]
Or, pour \(x_2=0\), on a \(\sigma_{12} = 0\). Donc, \(\overrightarrow {F_I} = \overrightarrow {0}\).
Pour le bord du domaine \(x_1 \cos \alpha + x_2 \sin \alpha =0\), on note \(\overrightarrow {n}= \cos\alpha \,\overrightarrow {e}_1 + \sin\alpha \, \overrightarrow {e}_2\) le vecteur normal unitaire sortant à la surface et \(\overrightarrow {F_{II}}\) la force surfacique exercée par le milieu extérieur sur le massif. On a:
\[\overrightarrow {F_{II}} = \overline{\overline{\sigma}} \cdot \overrightarrow {n} = \left[ \begin{array}{ccc}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & 0 \\
\sigma_{21} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \nu \sigma_{11} \end{array} \right] \cdot \left\{ \begin{array}{c} \cos\alpha \\
\sin\alpha \\ 0 \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{c} \sigma_{11}\cos\alpha + \sigma_{12}\sin\alpha \\
\sigma_{21}\cos\alpha \\ 0 \end{array} \right\}\]
Simplifions la première composante, sachant que nous nous plaçons sur la surface \(x_1 \cos \alpha + x_2 \sin \alpha =0\). On a donc:
\[\begin{aligned} &\sigma_{11}\cos\alpha + \sigma_{12}\sin\alpha \\ &= \rho g \left( - x_1 \tan\alpha + x_2 \left( 1-2\tan^2 \alpha \right) \right) \cos\alpha + \rho g \, x_2 \, \tan \alpha\,\sin\alpha
\\ &= \rho g \left( x_2 \sin\alpha \tan\alpha + x_2 \cos\alpha - 2 x_2 \tan^2\alpha \cos\alpha + x_2 \, \tan \alpha\,\sin\alpha \right)
\\ &= \rho g x_2 \cos\alpha \end{aligned}\]
d’où \[\overrightarrow {F_{II}} = \left\{ \begin{array}{c} \rho g x_2 \cos\alpha \\
\rho g x_2 \sin\alpha \\ 0 \end{array} \right\} = \rho g x_2 \overrightarrow {n}\]
Il s’agit d’un effort surfacique, correspondant à la pression hydrostatique exercée par un fluide de densité \(\rho\) sur le côté du massif.
- Pour calculer la contrainte tangentielle maximale, nous devons déterminer les contraintes principales.
\[ det \left( \overline{\overline \sigma } - \lambda \overline{\overline I } \right) = 0\] \[ \Rightarrow det \left[ \begin{array}{ccc}
\sigma_{11} - \lambda & \sigma_{12} & 0 \\
\sigma_{21} & -\lambda & 0 \\
0 & 0 & \nu \sigma_{11} - \lambda \end{array} \right] = 0\] \[ \Rightarrow -\lambda \left( \sigma_{11} - \lambda \right) \left( \nu \sigma_{11} - \lambda \right) - \sigma^2_{12} \left( \nu \sigma_{11} - \lambda \right) = 0\] \[ \Rightarrow \left( \nu \sigma_{11} - \lambda \right) \left( \lambda^2 - \lambda\sigma_{11} - \sigma^2_{12} \right) = 0\]
Soit comme, \(0<\nu<1/2\), en ordonnant les valeurs propres, on a: \[\left\{ \begin{array}{c} \sigma_{I} = \displaystyle\frac{\sigma_{11} + \sqrt{\sigma_{11}^2 + 4\sigma^2_{12}}}{2}\\
\sigma_{II} = \nu \sigma_{11} \\
\sigma_{III} = \displaystyle\frac{\sigma_{11} - \sqrt{\sigma_{11}^2 + 4\sigma^2_{12}}}{2} \end{array} \right\}\]
D’après Equation 10.6, \(\tau _{max} \; = \;| \displaystyle\frac{\sigma _I \; - \;\sigma _{III} | }{2}\), donc: \[\tau _{max}^2 \; = = \frac{1}{4}\sigma_{11}^2 + \sigma^2_{12}\]
On s’intéresse à l’équilibre statique d’un barrage poids de section triangulaire (OAB triangle isocèle rectangle en A de côté h). Le barrage, encastré sur sa base, est soumis à son poids \(-\rho\,g\,\overrightarrow {e}_y\) et à la poussée de l’eau \(-\rho_e\,g \, y\,\overrightarrow {e}_x\).
Sous l’hypothèse des déformations planes, on postule que le tenseur des contraintes dépend linéairement de x et de y : \[\overline{\overline \sigma } = \left[ \begin{array}{ccc}
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} & 0 \\
\sigma_{yx} & \sigma_{yy} & 0 \\
0 & 0 & \nu \left( \sigma_{xx} + \sigma_{xx} \right) \end{array} \right]\]
avec
\[\left\{ \begin{array}{l} \sigma_{xx} = a x + b y \\ \sigma_{yy} = c x + d y \\ \sigma_{xy} = e x + f y \end{array} \right.\]
Par application de l’équilibre, déterminer les constantes \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\).
Commençons par écrire l’équilibre volumique du barrage. Nous considérons un problème de statique, donc \(\overrightarrow {\gamma} = \overrightarrow {0}\). Les forces extérieures volumiques à considérer sont la gravité, c’est à dire \(\overrightarrow {f} = -\rho\,g\,\overrightarrow {e}_y\). D’où:
\[div \overline{\overline \sigma} -\rho\,g\,\overrightarrow {e}_y =\left\{ \begin{array}{c} a + f \\
e + d \\ 0 \end{array} \right\} + \left\{ \begin{array}{c} 0 \\
-\rho\,g \\ 0 \end{array} \right\} = \overrightarrow {0}\]
Parcourons maintenant les bords du massif.
Pour le bord du domaine \(y=-h\), il y a un encastrement. On peut juste affirmer que le déplacement est nul. Une fois les contraintes calculées, on pourra en déduire les efforts surfacique de réaction.
Pour le bord du domaine \(x=0\), on doit considérer la poussée de l’eau. On note \(\overrightarrow {n} = -\overrightarrow {e}_x\) le vecteur normal unitaire sortant à la surface. On a: \[\overline{\overline{\sigma}} \cdot \overrightarrow {n} = -\rho_e\,g \, y\,\overrightarrow {e}_x\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} b y = \rho_e\,g \\ f y = 0 \end{array} \right. \]
Pour le bord du domaine \(x+y=0\), il n’y a aucune force surfacique appliquée. On note \(\overrightarrow {n} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \overrightarrow {e}_x + \overrightarrow {e}_y \right)\) le vecteur normal unitaire sortant à la surface. On a: \[\overline{\overline{\sigma}} \cdot \overrightarrow {n} = \overrightarrow {0}\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} a - b + e -f = 0 \\ e - f + c - d = 0 \end{array} \right. \]
Après résolutions des six équations ainsi mises en évidence, on obtient : \(a=0\); \(b=\rho_e g\); \(c= \rho g -2\rho_e g\); \(d= \rho g -\rho_e g\); \(e= \rho_e g\); \(f=0\).