Exercices
On considère une corde de longueur \(L\), fixée en une extrémité et s’allongeant librement sous l’action de la pesanteur. On se place sous l’hypothèse des petites perturbations et on suppose que la corde est constituée d’un matériau à comportement élastique linéaire (module d’Young \(E\), coefficient de Poisson \(\nu\)). On note \(x\) l’axe de la corde orienté positivement vers le bas. On fait l’hypothèse que le tenseur des contraintes est uniaxial \(\sigma(x) = \sigma(x) \overrightarrow{e}_x \otimes \overrightarrow{e}_x\).
- Déterminer la contrainte σ(x).
- Déterminer la déformation \(\varepsilon_{xx}\), puis en déduire le déplacement axial \(u(x)\).
- Déterminer l’allongement de la corde.
La corde est à l’équilibre sous l’action de la pesanteur. On considère un problème de statique, donc la contrainte est donnée par l’équation d’équilibre : \[div\,\overline{\overline\sigma } + \rho \overrightarrow{g} = \overrightarrow{0}\] soit, comme l’axe \(x\) est orienté positivement vers le bas : \[\frac{\partial \sigma(x)}{\partial x} + \rho g = 0\] En intégrant cette équation, on trouve :
\(\sigma(x) = -\rho g x + C\) où C est une constante d’intégration. Pour \(x=L\), aucun effort n’est appliqué sur l’extrémité de ma corde, donc \(\overline{\overline \sigma } \,\overrightarrow {n} = \overrightarrow {0}\), ou encore \(\sigma(L) = 0\). On en déduit que : \[\sigma(x) = \rho \, g \left( L - x \right)\]Connaissant la contrainte, la déformation est donnée par la loi de comportement élastique linéaire isotrope : \[\overline{\overline \varepsilon } \; = \; -\;\frac{\nu }{E}\;Tr(\overline{\overline \sigma } )\;\overline{\overline I} \; + \; \frac{1\; + \;\nu }{E}\;\overline{\overline \sigma }\] d’où : \[\varepsilon_{xx} = \frac{1 + \nu}{E} \sigma(x) - \frac{\nu}{E} \sigma(x) = \frac{\sigma(x)}{E} = \frac{ \rho \, g}{E}\left( L - x \right)\] Or \(\varepsilon_{xx} = \displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}\), donc par intégration, \[u(x) = \frac{\rho g}{E} \left( L x - \frac{x^2}{2} \right) + C'\] où \(C'\) est une constante d’intégration. Pour \(x=0\), on a \(u(0) = 0\), donc \(C' = 0\). On en déduit :
\[u(x) = \frac{\rho g}{E} \left( L x - \frac{x^2}{2} \right)\]l’allongement de la corde est donné par : \[\delta L = u(L) = \frac{\rho g}{E} \left( L^2 - \frac{L^2}{2} \right) = \frac{\rho g L^2}{2E}\]
On considère un tube de rayon intérieur \(R_i\) et de rayon extérieur \(R_e\), soumis à une pression interne \(P_i\) et une pression externe \(P_e\), ainsi qu’à une température intérieure \(T_i\) et une température extérieur \(T_e\). On suppose que le matériau constituant le tube est isotrope obéissant à une loi de comportement thermoélastique linéaire de module d’Young \(E\), de coefficient de Poisson \(\nu\) et de coefficient de dilatation \(\alpha\). C’est le cas, par exemple, d’un pipeline posé au de l’océan, soumis à la pression de l’eau et à la température de l’eau et pompant sous pression un mélange (en négligeant la convention, en affectant la température des fluides aux parois). On négligera le poids propre du tube. Sous ces conditions, en se plaçant en système de coordonnées cylindriques, les symétrie du problème nous permettent de faire l’hypothèse que le problème est indépendant des variables angulaires \(\theta\) et axiales \(z\) et que le champ de déplacement est de la forme \(\overrightarrow{u} = u(r)\overrightarrow{e}_r\).
Déterminer les champs de température, de déplacement, de contrainte et de déformation dans le tube.
On résout un problème de thermoélasticité. En négligeant la contribution mécanique dans l’équation de la chaleur Equation 13.2, le couplage thermo-mécanique est un couplage faible. On commence donc par résoudre le problème de thermique. \[\rho C\dot {T} = \rho C\left( {\frac{\partial T}{\partial t} + \overrightarrow {v} \cdot \nabla T} \right) = r + div\overline{\overline k} \; \nabla T\]
En stationnaire, sans apport volumique, pour une conductivité constante, le problème se réduit à : \(\Delta T = 0\). \[\Delta T = \frac{\partial ^2T}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial r} +\frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2T}{\partial \theta^2} + \frac{\partial ^2T}{\partial z^2}\] \(T\) ne dépendant que de \(r\), on note \(T'=\frac{\partial T}{\partial r}\) et on en déduit : \[\Delta T = T'' + \frac{T'}{r}\] \[r T'' + T' = 0\] \[rT' = cste\] \[T = a \, ln(r) + b\] où \(a\) et \(b\) sont des constantes d’intégration. On utilise alors les conditions aux limites \(T(R_i) = T_i\) et \(T(R_e) = T_e\) pour déterminer les constantes d’intégration : \[T(r) = (T_e - T_i)\frac{ln(r / R_i)}{ln(R_e / R_i)} + T_i\]
On peut maintenant aborder le problème mécanique. Le déplacement radial \(u\) ne dépendant que de \(r\), on note \(u' = \frac{\partial u}{\partial r}\).
Pour calculer la déformation, on commence par calculer le gradient du déplacement : \[\nabla(\overrightarrow {u}) = \left[
{{\begin{array}{*{20}c}
{\displaystyle{{\partial u_r } \over {\partial r}}} \hfill & {\displaystyle{1\over r}\left( {\displaystyle{{\partial u_r } \over {\partial \theta
}} - u_\theta } \right)} \hfill & {\displaystyle{{\partial u_r } \over {\partial z}}} \hfill \\
{\displaystyle{{\partial u_\theta } \over {\partial r}}} \hfill &
{\displaystyle{1 \over r}\left( {\displaystyle{{\partial u_\theta } \over {\partial \theta }} + u_r } \right)} \hfill &
{\displaystyle{{\partial u_\theta } \over {\partial z}}} \hfill \\
{\displaystyle{{\partial u_z } \over {\partial r}}} \hfill & {\displaystyle{1 \over r}\displaystyle{{\partial u_z } \over {\partial \theta }}} \hfill &
{\displaystyle{{\partial u_z } \over {\partial z}}} \hfill \\
\end{array} }} \right] = \left[
{{\begin{array}{*{20}c}
{u'} \hfill & {0} \hfill & {0} \hfill \\
{0} \hfill & {\displaystyle{u \over r} } \hfill & {0} \hfill \\
{0} \hfill & {0} \hfill &
{0} \hfill \\
\end{array} }} \right] \]
d’où, sous l’hypothèse des petites perturbations \[\overline{\overline \varepsilon } =
\frac{1}{2}\left( {\nabla\,\overrightarrow {u} +
\nabla^T\overrightarrow {u}} \right) \; = \; \left[
{{\begin{array}{*{20}c}
{u'} \hfill & {0} \hfill & {0} \hfill \\
{0} \hfill & {\displaystyle{u \over r} } \hfill & {0} \hfill \\
{0} \hfill & {0} \hfill &
{0} \hfill \\
\end{array} }} \right] \] En utilisant la loi de comportement, on peut calculer la contrainte. Notons \(\delta T(r) = T(r) - T_0\) la variation de température par rapport à la température du matériau au repos. On a alors: \[\overline{\overline \sigma } = \lambda Tr(\overline{\overline
\varepsilon } )\overline{\overline I} + 2\mu \overline{\overline
\varepsilon } - (3\lambda + 2\mu )\overline{\overline \alpha }
\tau \; = \; \left[
\begin{array}{ccc}
\sigma_{rr} & 0 & 0 \\
0 & \sigma_{\theta\theta} & 0 \\
0 & 0 & \sigma_{zz}
\end{array} \right] \] avec
\[\sigma_{rr} = \lambda (u'+\displaystyle\frac{u}{r}) + 2 \mu u' - (3\lambda + 2\mu) \alpha \delta T\] \[\sigma_{\theta\theta} = \lambda (u'+\displaystyle\frac{u}{r}) + 2 \mu \displaystyle\frac{u}{r} - (3\lambda + 2\mu) \alpha \delta T\] \[\sigma_{zz} = \lambda (u'+\displaystyle\frac{u}{r}) - (3\lambda + 2\mu) \alpha \delta T\] On peut alors appliquer l’équilibre, en l’absence de pesanteur et en statique: \[div\,\overline{\overline \sigma } \, = \, \left\{ {{\begin{array}{c}
{\displaystyle\frac{\partial \sigma_{rr}}{\partial r} +\frac {1}{r} \displaystyle\frac{\partial \sigma_{r\theta}}{\partial \theta} + \displaystyle\frac {\partial \sigma_{rz}}{\partial z}+\displaystyle\frac{\sigma_{rr}-\sigma_{\theta \theta}}{r}} \\
{\displaystyle\frac{\partial \sigma_{\theta r}} {\partial r} + \displaystyle\frac {1}{r}\frac{\partial \sigma_{\theta \theta}}{\partial \theta} + \displaystyle\frac{\partial \sigma_{\theta z}}{\partial z} +\displaystyle\frac{\sigma_{r\theta}}{r}+\displaystyle\frac{\sigma_{\theta r}}{r}}\\
{\displaystyle\frac{\partial \sigma_{zr}}{\partial r} + \displaystyle\frac {1}{r}\displaystyle\frac{\partial \sigma_{z\theta}}{\partial \theta} + \displaystyle\frac{\partial \sigma_{zz} }{\partial z} + \displaystyle\frac{\sigma_{zr}}{r}} \\
\end{array} }} \right\} \,= \, \overrightarrow {0}\] soit, en tenant de l’indépendance en \(\theta\) et \(z\) et du fait que le tenseur des contraintes est diagonal, seule la première composante est à considérer :
\[\frac{\partial \sigma_{rr}}{\partial r} + \frac{\sigma_{rr} - \sigma_{\theta\theta}}{r} = 0\] d’où \[\lambda \left( u'' + \frac{u'}{r} - \frac{u}{r^2} \right) + 2\mu u'' - (3\lambda + 2\mu) \alpha \frac{\partial \delta T}{\partial r} + \frac{2 \mu u' - 2 \mu \displaystyle\frac{u}{r}}{r} = 0\] \[u'' + \frac{u'}{r} - \frac{u}{r^2} \, = \, \frac{(3\lambda+2\mu) \alpha a}{(\lambda + 2\mu) r}\] On note \(A = \displaystyle\frac{(3\lambda+2\mu) \alpha a}{(\lambda + 2\mu)}\) soit \[\left( u' + \frac{u}{r}\right)' \, = \, \frac{A}{r}\] par intégration \[u' + \frac{u}{r} = A \, ln(r) + cste\] \[ru' + u = A \, r \, ln(r) + cste \, r\] \[ru\,=\, \frac{A \, r^2}{2} \, ln(r) - \frac{A \, r^2}{4} + B \, r^2 + C\] soit \[u\,=\, \frac{A \, r}{2} \, ln(r) - \frac{A \, r}{4} + B\, r + \frac{C}{r}\] où \(B\) et \(C\) sont des constantes d’intégration.
Pour déterminer les constantes d’intégration, on utilise les conditions aux limites.
Pour \(r=R_i\), une pression \(P_i\,\overrightarrow{e}_r\) est exercée. La normale sortante au domaine est \(\overrightarrow{n} = -\overrightarrow{e}_r\), donc: \[\overline{\overline \sigma } \,\overrightarrow {n} = -\sigma_{rr} \overrightarrow{e}_r = P_i \overrightarrow{e}_r\] soit \[\sigma_{rr}(R_i) = -P_i\]
Pour \(r=R_e\), une pression \(-P_e\,\overrightarrow{e}_r\) est exercée. La normale sortante au domaine est \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{e}_r\), donc: \[\overline{\overline \sigma } \,\overrightarrow {n} = \sigma_{rr} \overrightarrow{e}_r = -P_e \overrightarrow{e}_r\] soit \[\sigma_{rr}(R_e) = -P_e\]
comme \[\sigma_{rr}(r) = \lambda \left( A ln r + 2 B \right) + 2 \mu \left( \frac{A}{2} ln r + \frac{A}{4} + B - \frac{C}{r^2} \right) - \left( 3 \lambda + 2 \mu \right) \alpha \delta T\] ou encore \[\sigma_{rr}(r) = 2 B \left( \lambda + \mu \right) - 2 \mu \frac{C}{r^2} +S(r)\] avec \[S(r) = A \left( \lambda + \mu \right) ln r + \mu \frac{A}{2} - \left( 3 \lambda + 2 \mu \right) \alpha \delta T(r)\] on détermine les constantes d’intégration \(B\) et \(C\) : \[B = \displaystyle\frac{R_e^2 \left( S(R_e) + P_e \right) - R_i^2 \left( S(R_i) + P_i \right)}{2 \left( \lambda + \mu \right) \left( R_i^2 - R_e^2 \right)}\] \[C = \displaystyle\frac{R_e^2 R_i^2 \left( S(R_e) + P_e - S(R_i) - P_i\right) }{2 \mu \left( R_i^2 - R_e^2 \right)}\]
On vérifie que \(B\) est sans dimension et que \(C\) est homogène à des \(m^2\).
Soit une boule pleine isolée (sans atmosphère) et soumise à son propre champ de gravitation. Si \(\overrightarrow g\) désigne le module de l’accélération de la pesanteur à la surface de la boule, les forces de volume en tout point \(M\) de la boule, en coordonnées sphériques, sont \(\overrightarrow{f} = - \displaystyle\frac{\rho g r}{R}\overrightarrow{e}_r\) où \(R\) est le rayon de la boule, \(O\) son centre, \(r = OM\) et \(\rho\) la masse volumique de la substance la composant.
Dans l’hypothèse des petites déformations élastiques, déterminer le champ des déplacements.
Le domaine à considérer est une boule et le chargement qui lui est appliqué est une force volumique radiale, ne dépendant que de \(r\). Par raison de symétrie, en système de coordonnées sphériques, on fait donc l’hypothèse que le champ de déplacement est radial et ne dépend que de la variable \(r\), c’est-à-dire \(\overrightarrow{u} = u(r) \overrightarrow{e}_r\).
\(u\) ne dépendant que de \(r\), on note \(u'=\frac{\partial u}{\partial r}\) Pour calculer la déformation, on commence par calculer le gradient du déplacement : \[\nabla\overrightarrow {u} = \left[ \begin{array}{ccc}
\displaystyle\frac {\partial u_r }{\partial r} &
\displaystyle\frac{1}{r} \left( \displaystyle\frac{\partial u_r }{\partial \theta} - u_\theta \right) &
\displaystyle\frac{1}{r}\left( \displaystyle\frac {1}{\sin\theta} \frac {\partial u_r}{\partial \varphi}-u_\varphi \right) \\
\displaystyle\frac{\partial u_\theta } {\partial r} &
\displaystyle\frac{1}{r} \left( \displaystyle\frac{\partial u_\theta } {\partial \theta } + u_r \right) &
\displaystyle\frac{1}{r}\left( \displaystyle\frac {1}{\sin\theta} \displaystyle\frac {\partial u_\theta} {\partial \varphi}- \cot\theta \; u_\varphi \right) \\
\displaystyle\frac{\partial u_\varphi } {\partial r} &
\displaystyle\frac{1}{r} \frac {\partial u_\varphi } {\partial \theta } &
\displaystyle\frac{1}{r} \left( {\displaystyle\frac {1}{\sin\theta} \displaystyle\frac {\partial u_\varphi } {\partial \varphi}+ \cot\theta \; u_\theta +u_r} \right) \\
\end{array} \right] \; = \;
\left[ {{\begin{array}{*{20}c}
u' & 0 & 0 \\
0 & \displaystyle\frac{u}{r} & 0 \\
0 & 0 & \displaystyle\frac{u}{r} \\
\end{array} }} \right]\] d’où, sous l’hypothèse des petites perturbations \[\overline{\overline \varepsilon } =
\frac{1}{2}\left( {\nabla\,\overrightarrow {u} +
\nabla^T\overrightarrow {u}} \right) \; = \; \left[ {{\begin{array}{*{20}c}
u' & 0 & 0 \\
0 & \displaystyle\frac{u}{r} & 0 \\
0 & 0 & \displaystyle\frac{u}{r} \\
\end{array} }} \right] \] En utilisant la loi de comportement, on peut calculer la contrainte : \[\overline{\overline \sigma } = \lambda Tr(\overline{\overline
\varepsilon } )\overline{\overline I} + 2\mu \overline{\overline
\varepsilon } = \; \left[
\begin{array}{ccc}
\sigma_{rr} & 0 & 0 \\
0 & \sigma_{\theta\theta} & 0 \\
0 & 0 & \sigma_{\varphi\varphi}
\end{array} \right] \] avec
\[\sigma_{rr} = \lambda (u'+2\displaystyle\frac{u}{r}) + 2 \mu u'\] \[\sigma_{\theta\theta} = \sigma_{\varphi\varphi} = \lambda (u'+2\displaystyle\frac{u}{r}) + 2 \mu \displaystyle\frac{u}{r}\]
On peut alors appliquer l’équilibre en statique, soit: \[div\,\overline{\overline \sigma } - \displaystyle\frac{\rho g r}{R}\overrightarrow{e}_r \, = \, \overrightarrow {0}\]
avec
\[div\,\overline{\overline \sigma } \, = \, \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\displaystyle{{\partial \sigma_{rr} } \over {\partial r}} + \frac{1}{r}\displaystyle{{\partial \sigma_{r\theta } } \over {\partial \theta }} + \frac{1}{r\sin \theta }\displaystyle{{\partial \sigma_{r\varphi } } \over {\partial \varphi }} + \frac{1}{r}\left( {2\sigma_{rr} - \sigma_{\theta \theta } - \sigma_{\varphi \varphi } + \sigma_{r\theta } \, \cot\theta } \right)} \hfill \\ {\displaystyle{{\partial \sigma_{\theta r} } \over {\partial r}} + \frac{1}{r}\displaystyle{{\partial \sigma_{\theta \theta } } \over {\partial \theta }} + \frac{1}{r\sin \theta }\displaystyle{{\partial \sigma_{\theta \varphi } } \over {\partial \varphi }} + \frac{1}{r}\left( {(\sigma_{\theta \theta} - \sigma_{\varphi \varphi } )\cot\theta + 3\sigma_{r \theta } } \right)} \hfill \\ {\displaystyle{{\partial \sigma_{\varphi r} } \over {\partial r}} + \frac{1}{r}\displaystyle{{\partial \sigma_{\varphi \theta } } \over {\partial \theta }} + \frac{1}{r\sin \theta }\displaystyle{{\partial \sigma_{\varphi \varphi } } \over {\partial \varphi }} + \frac{1}{r}\left( {2\sigma_{\theta \varphi } \, \cot\theta + 3\sigma_{r\varphi } } \right)} \hfill \\ \end{array} }} \right\}\]
soit, en tenant de l’indépendance en \(\theta\) et \(\varphi\) et du fait que le tenseur des contraintes est diagonal, seule la première composante est à considérer :
\[\frac{\partial \sigma_{rr}}{\partial r} + \frac{ 2 \sigma_{rr} - \sigma_{\theta\theta} - \sigma_{\varphi\varphi}}{r} = \displaystyle\frac{\rho g r}{R}\] d’où \[\lambda \left( u'' + 2\displaystyle\frac{u'}{r} - 2\displaystyle\frac{u}{r^2} \right) + 2\mu u''' + \displaystyle\frac{2}{r} \left( 2 \mu u' - 2 \mu \displaystyle\frac{u}{r} \right) = \displaystyle\frac{\rho g r}{R}\] \[u'' + 2\displaystyle\frac{u'}{r} - 2\displaystyle\frac{u}{r^2} \, = \, \displaystyle\frac{\rho g r}{R(\lambda + 2 \mu)}\] On note \(A = \displaystyle\frac{\rho g}{R(\lambda + 2 \mu)}\) soit
\[\left( u' + 2 \displaystyle\frac{u}{r}\right)' \, = \, A r\] par intégration \[u' + 2 \displaystyle\frac{u}{r} = \displaystyle\frac{A r^2}{2} + cste\] \[r^2u' + 2ru = \displaystyle\frac{A r^4}{2} + cste \, r^2 \] \[r^2u\,=\, \displaystyle\frac{A r^5}{10} + cste \, r^3 + cste\] soit \[u\,=\, \displaystyle\frac{A r^3}{10} + B\,r\, + \displaystyle\frac{C}{r^2}\] où \(B\) et \(C\) sont des constantes d’intégration. Pour déterminer les constantes d’intégration, on utilise les conditions aux limites.
- Pour \(r=0\), on a par raison de symétrie sphérique, \(u(0) = 0\), donc \(C = 0\).
- Pour \(r=R\), la normale sortante est \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{e}_r\), la surface est libre de charges, donc \(\overline{\overline \sigma } \,\overrightarrow {n} = \overrightarrow {0}\), soit \(\sigma_{rr}(R) = 0\)
et
\[B= - \displaystyle\frac{A R^2}{10} \displaystyle\frac{5\lambda + 6\mu}{3\lambda + 2\mu}\]
On vérifie que \(B\) est sans dimension.