15 Navier-Stokes
On appelle équations de Navier-Stokes, l’équation de continuité et l’équation de conservation de la quantité de mouvement pour un fluide newtonien. Partons donc de l’équation d’équilibre : \[ \rho \overrightarrow{\gamma} = div \overline{\overline \sigma} + \overrightarrow{f} \] On exprime la contrainte pour un fluide newtonien : \[ \rho \displaystyle{\frac{d \overrightarrow{v}}{d t}} = div \left( -p \overline{\overline I} + \lambda Tr\left( \overline{\overline D} \right) \overline{\overline I} + 2 \mu \overline{\overline D} \right) + \overrightarrow{f} \] On exprime le tenseur des vitesses de déformation en fonction du champ de vitesse : \[ \rho \displaystyle{\frac{d \overrightarrow{v}}{d t}} = div \left( -p \overline{\overline I} \right) + div \left( \lambda div \overrightarrow{v} \right) \overline{\overline I} + div \left(\mu \left( \nabla \overrightarrow{v} + \left(\nabla \overrightarrow{v} \right)^T \right) \right) + \overrightarrow{f} \] ou encore : \[ \rho \left( \displaystyle{\frac{\partial \overrightarrow {v}}{\partial t} + \nabla \,\overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {v}} \right)= - \nabla p + \lambda \nabla \left( div \overrightarrow{v} \right) + \mu\; div \left( \nabla \overrightarrow{v} \right) + \mu\; div \left(\nabla^T \overrightarrow{v} \right) + \overrightarrow{f} \] \[ \displaystyle{\rho\frac{\partial \overrightarrow {v}}{\partial t} + \rho\nabla \,\overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {v}} = - \nabla p + \left( \lambda +\mu \right) \nabla \left( div \overrightarrow{v} \right) + \mu\; div \left( \nabla \overrightarrow{v} \right) + \overrightarrow{f} \]
\[\frac{\partial \rho }{\partial t} + div\left( {\rho \overrightarrow {v}} \right) = 0\] \[ \displaystyle{\rho\frac{\partial \overrightarrow {v}}{\partial t} + \rho\nabla \,\overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {v}} = - \nabla p + \left( \lambda +\mu \right) \nabla \left( div \overrightarrow{v} \right) + \mu\; \Delta \overrightarrow{v} + \overrightarrow{f} \]
Dans le cas où le fluide est incompressible, comme l’eau, l’équation de continuité se réduit à \(div\, \overrightarrow {v} = 0\) , si bien que les équations de Navier-Stokes deviennent :
\[ div\, \overrightarrow {v} = 0\] \[ \displaystyle{\frac{\partial \overrightarrow {v}}{\partial t} + \nabla \,\overrightarrow {v} \cdot \overrightarrow {v}} = - \frac{\nabla p}{\rho} + \nu\; \Delta \overrightarrow{v} + \frac{\overrightarrow{f}}{\rho} \] où \(\nu=\displaystyle\frac{\mu}{\rho}\) représente la viscosité dynamique.