1 Vecteurs et tenseurs
1.1 Notations
1.1.1 Vecteur
Dans un espace euclidien \(\mathcal{E}\) à trois dimensions, soit \(\overrightarrow{e}_1, \overrightarrow{e}_2, \overrightarrow{e}_3\) une base orthonormée. Un vecteur \(\overrightarrow{V}\) est représenté par ses composantes \(V_1, V_2, V_3\) dans cette base
\[\overrightarrow{V} = V_1 \overrightarrow{e}_1 + V_2 \overrightarrow{e}_2 + V_3 \overrightarrow{e}_3 = \sum\limits_{i=1}^3 V_i \overrightarrow{e}_i .\]
En utilisant la convention de sommation, ou convention d’Einstein, on écrit de façon simplifiée :
\[\overrightarrow{V} = V_i \overrightarrow{e}_i \tag{1.1}\]
où, chaque fois qu’un indice est répété, il convient de faire varier cet indice de \(1\) à \(3\) et de faire la sommation sur les termes correspondants. Dans l’expression précédente, l’indice “i” est un indice muet, c’est-à-dire \(V_i \overrightarrow{e}_i = V_k \overrightarrow{e}_k = V_* \overrightarrow{e}_*\).
En notation vectorielle on écrira parfois:
\[ \overrightarrow{V} = \left\{ \overrightarrow{V} \right\} = \left\{ \begin{array}{c} V_1\\ V_2 \\ V_3 \end{array} \right\} \]
et le vecteur transposé \[ \overrightarrow{V}^T = \left\{ \overrightarrow{V} \right\}^T = \langle V_1, V_2, V_3 \rangle \]
1.1.2 Application linéaire de \(\mathcal{E}\) dans \(\mathcal{E}\)
Soit \(A\) une application linéaire, dans la base \(\overrightarrow{e}_1, \overrightarrow{e}_2, \overrightarrow{e}_3\). Cette application est représentée par une matrice 3x3 notée \(\left[ A \right]\) :
\[ \left[ A \right] = \left[ \begin{array}{ccc} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{array} \right] ,\]
où \(A_{ij}\) sont les coefficients de la matrice. Si \(\overrightarrow{W}\) est un vecteur tel que \(\overrightarrow{W} = A \overrightarrow{V}\), alors les composantes de \(\overrightarrow{W}\) sont données par : \[\left\{ \begin{array}{ccc} W_{1} = A_{11} V_1 + A_{12} V_2 + A_{13} V_3 \\ W_{2} = A_{21} V_1 + A_{22} V_2 + A_{23} V_3 \\ W_{3} = A_{31} V_1 + A_{32} V_2 + A_{33} V_3 \end{array} \right.\]
et en utilisant les conventions de sommation Equation 1.1,
\[ W_{i} \overrightarrow{e}_i = A_{ij} V_j \overrightarrow{e}_i\] et en notation vectorielle \[ \left\{ W \right\} = \left[ A \right] \left\{ V \right\} \]
On définit les symboles de Kronecker par \[ \delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{si } i=j \\ 0 & \text{si } i\neq j \end{array} \right. \tag{1.2}\]
En particulier l’application identité \(\overline{\overline{I}}\) est représentée par la matrice \[ \overline{\overline{I}} = \left[ \begin{array}{ccc} \delta_{11} & \delta_{12} & \delta_{13} \\ \delta_{21} & \delta_{22} & \delta_{23} \\ \delta_{31} & \delta_{32} & \delta_{33} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \]
La composition de deux applications linéaires se traduit par le produit de leur matrice représentative, c’est-à-dire
\[ C = A \circ B \text{ ou encore } \left[ C \right] = \left[ A \right] \left[ B \right] \] et en notation indicielle, chaque composante de \(C\) est donnée par : \[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]
1.1.3 Formes bilinéaires
Soit \(A\) une forme bilinéaire sur \(\mathcal{E}\), c’est-à-dire une application bilinéaire de \(\mathcal{E} \times \mathcal{E}\) dans \(\mathbb{R}\). Dans la base \(\overrightarrow{e}_1, \overrightarrow{e}_2, \overrightarrow{e}_3\) elle est représentée par une matrice telle que
\[A \left( \overrightarrow{V}, \overrightarrow{W} \right) = A_{ij} V_i W_j \] ou en notation matricielle \[ A \left( \overrightarrow{V}, \overrightarrow{W} \right) = \langle \overrightarrow{V} \rangle \left[ A \right] \left\{\overrightarrow{W} \right\} \]
En particulier, la forme bilinéaire représentée dans toute base par les symboles de Kronecker est le produit scalaire. Si \(\overrightarrow{e}_1, \overrightarrow{e}_2, \overrightarrow{e}_3\) est une base orthonormée, alors \[\overrightarrow{e}_i \cdot \overrightarrow{e}_j = \delta_{ij}\] et le produit scalaire de deux vecteurs est donné par \[ \overrightarrow{V} \cdot \overrightarrow{W} = \langle \overrightarrow{V} \rangle \left\{\overrightarrow{W} \right\} = V_i\overrightarrow{e}_i \cdot W_j \overrightarrow{e}_j = V_i W_j \delta_{ij} = V_i W_i \]
1.1.4 Tenseurs
1.1.4.1 Tenseur du second ordre
Un tenseur du second ordre \(T\) est un opérateur linéaire qui fait correspondre à tout vecteur \(\overrightarrow {V}\) de l’espace euclidien un vecteur \(\overrightarrow {W}\) de ce même espace.
\[\overrightarrow {W} = T\left( \overrightarrow {V} \right)\]
Cet opérateur peut être représenté par une matrice 3x3, notée \([T]\) ou \(\left[ \overline{\overline {T}} \right]\) ou \(\overline{\overline {T}}\), telle que
\[W_i \; \overrightarrow {e}_i \;= T_{ij} V_j \overrightarrow {e}_i\]
ou en notation matricielle
\[\left\{ \overrightarrow {W} \right\} = \left[ \overline{\overline {T} } \right]\left\{ \overrightarrow {V} \right\}\] ou \[\overrightarrow {W} =\overline{\overline T} \,\overrightarrow {V}\]
- Un tenseur du deuxième ordre est dit symétrique si \(T_{ij} = T_{ji}\)
- Un tenseur du deuxième ordre est dit antisymétrique si \(T_{ij} = - T_{ji}\)
- Un tenseur du deuxième ordre est dit isotrope si \(T_{ij} = t\,\delta _{ij}\)
- On peut toujours décomposer un tenseur du deuxième ordre en une partie symétrique et antisymétrique \(\overline{\overline {T}} = \overline{\overline {T}} ^S + \overline{\overline {T}} ^A\) ou \(T_{ij} = T_{ij}^S + T_{ij}^A\) avec \(T_{ij}^S = \frac{1}{2}\left( {T_{ij} + T_{ji} } \right)\) et \(T_{ij}^A = \frac{1}{2}\left( {T_{ij} - T_{ji} } \right)\)
1.1.4.2 Tenseur d’ordre supérieur
On peut définir un vecteur \(\overrightarrow {V}\) par ses composantes V\(_{i}\), ou par les coefficients de la forme linéaire \(\overrightarrow {X} \to \overrightarrow {X} \cdot \overrightarrow {V} = X_i V_i\), car la base choisie est orthonormée (voir les notions de vecteurs covariants et contravariants, par exemple dans Forest and Amestoy (2022)).
On peut alors considérer le vecteur comme un tenseur du premier ordre.
De même, une fonction scalaire peut être considérée comme un tenseur d’ordre zéro.
Un tenseur du troisième ordre \(\overline {\overline{\overline S} }\) est un opérateur linéaire qui, à tout vecteur \(\overrightarrow {Z}\) fait correspondre un tenseur du second ordre \(\overline{\overline T}\).
\[\overline{\overline T} = \overline {\overline{\overline S} } \,(\overrightarrow {Z})\quad ou\;encore\quad T_{ij} = S_{ijk} Z_k\]
1.1.4.3 Produit tensoriel
On définit le produit tensoriel du vecteur \(\overrightarrow {U}\) par le vecteur \(\overrightarrow {V}\), noté \(\overrightarrow {U} \otimes \overrightarrow {V}\), comme le tenseur d’ordre deux, défini par la forme bilinéaire qui aux vecteurs \(\overrightarrow {X}\) et \(\overrightarrow {Y}\) fait correspondre \(\left( {\overrightarrow {U} \cdot \overrightarrow {X}} \right)\left( {\overrightarrow {V} \cdot \overrightarrow {Y}} \right)\)
Les 9 produits tensoriels \(\overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j\) définissent une base de l’espace vectoriel des tenseurs d’ordre deux. En effet, \(\overrightarrow {e}_1 \otimes \overrightarrow {e}_1 = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\end{array} \right]\), \(\overrightarrow {e}_1 \otimes \overrightarrow {e}_2 = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\\end{array} \right]\), … etc … si bien que l’on peut écrire un tenseur \(\overline{\overline T}\) comme
\[\overline{\overline T} = T_{ij} \; \overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j \tag{1.3}\] D’où, le,
\[\overrightarrow {u} \otimes \overrightarrow {v} = u_i \,v_j \, \overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j=\left[ {{\begin{array}{*{20}c} {u_1 v_1 } \hfill & {u_1 v_2 } \hfill & {u_1 v_3} \hfill \\ {u_2 v_1 } \hfill & {u_2 v_2 } \hfill & {u_2 v_3 } \hfill \\ {u_3 v_1 } \hfill & {u_3 v_2 } \hfill & {u_3 v_3 } \hfill \\ \end{array} }} \right] \tag{1.4}\]
Le produit tensoriel d’un tenseur d’ordre \(p\) et d’un tenseur d’ordre \(q\) est un tenseur d’ordre \(p+q\). Par exemple, le produit tensoriel d’un tenseur \(\overline{\overline T}\) d’ordre \(2\) et d’un tenseur \(\overrightarrow {U}\) d’ordre \(1\) est un tenseur \(\overline{\overline{\overline S}}\) d’ordre \(3\), \[\overline{\overline{\overline S}} = \overline{\overline T} \otimes \overrightarrow {U} = T_{ij} \; U_k \; \overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j \otimes \overrightarrow {e}_k \;.\]
1.1.4.4 Contraction et produit contracté
Abordons cette notion par l’exemple. La contraction est une opération connue que l’on généralise en l’appliquant à des tenseurs. Considérons le produit contracté de deux vecteurs \(\overrightarrow {U}\) et \(\overrightarrow {V}\), noté \(\overrightarrow {U} \cdot \overrightarrow {V}\). En notation indicielle, on a \[\overrightarrow {U} \cdot \overrightarrow {V} = \left( U_i\overrightarrow{e}_i \right) \cdot \left(V_j \overrightarrow{e}_j \right) = U_i \; V_j \; \overrightarrow{e}_i \cdot \overrightarrow{e}_j\]
La contraction revient alors à considérer le terme \(\overrightarrow{e}_i \cdot \overrightarrow{e}_j\) et à le remplacer par le symbole de Kronecker \(\delta_{ij}\), si bien que \[\overrightarrow {U} \cdot \overrightarrow {V} = U_i \; V_j \; \delta_{ij} = U_i \; V_i\] Le produit contracté de deux vecteurs est donc un scalaire, ou encore la contraction de deux vecteurs revient à “faire” le produit scalaire “habituel”.
Considérons, maintenant, le produit contracté d’un tenseur d’ordre \(2\) \(\overline{\overline T}\) et d’un tenseur d’ordre \(1\) \(\overrightarrow {U}\). \[\overline{\overline T} \cdot \overrightarrow {U} = \left( T_{ij} \; \overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j \right) \cdot \left(U_k \overrightarrow{e}_k \right) = T_{ij} \; U_k \; \overrightarrow{e}_i \otimes \overrightarrow{e}_j \cdot \overrightarrow{e}_k = T_{ij} \; U_j \; \overrightarrow{e}_i\]
le produit contracté d’un tenseur d’ordre \(2\) et d’un tenseur d’ordre \(1\) est donc un tenseur d’ordre \(1\). Cela revient à faire “un produit matrice-vecteur”. Dans l’expression précédente, on élimine les vecteurs de base autour de l’opérateur de contraction “\(\cdot\)” et on contracte les indices “j” et “k”.
1.2 Produit tensoriel - cas général
De façon plus générale, le produit contracté d’un tenseur d’ordre \(p\) et d’un tenseur d’ordre \(q\) est un tenseur d’ordre \(p+q-2\).
Par exemple, le produit contracté d’un tenseur d’ordre \(4\) \(\overline{\overline {\overline{\overline R} }}\) et d’un tenseur d’ordre \(3\) \(\overline {\overline{\overline S} }\) est défini par le tenseur d’ordre \(5\)
\[\begin{aligned} \overline{\overline {\overline{\overline R} }} \cdot \overline{\overline{\overline S} } &= \left( {R_{ijkl} \; \overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j \otimes \overrightarrow {e}_k \otimes \overrightarrow {e}_l } \right) \cdot \left( {S_{pqr} \; \overrightarrow {e}_p \otimes \overrightarrow {e}_q \otimes \overrightarrow {e}_r } \right) \\ &= R_{ijkl} \; S_{pqr} \; \overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j \otimes \overrightarrow {e}_k \otimes \overrightarrow {e}_l \cdot \otimes \overrightarrow {e}_p \otimes \overrightarrow {e}_q \otimes \overrightarrow {e}_r \\ &= R_{ijkm} \; S_{mqr} \; \overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j \otimes \overrightarrow {e}_k \otimes \overrightarrow {e}_q \otimes \overrightarrow {e}_r \end{aligned}\]
Le produit doublement contracté, comme son nom l’indique, revient à utiliser le produit contracté deux fois de suite. Il est noté “\(:\)” et est défini par le produit de deux tenseurs d’ordre \(p\) et \(q\) qui donne un tenseur d’ordre \(p+q-4\).
Ainsi, le produit doublement contracté de deux tenseurs d’ordre \(2\) \(\overline{\overline A}\) et \(\overline{\overline {B}}\) est un scalaire: \[\begin{aligned} \overline{\overline A} :\overline{\overline {B}} &= \left( {A_{ij} \overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j } \right):\left( {{B}_{pq} \overrightarrow {e}_p \otimes \overrightarrow {e}_q } \right) \\ &= A_{ij} \; B_{pq} \; \overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j : \overrightarrow {e}_p \otimes \overrightarrow {e}_q \\ &= A_{ij} \; B_{jq} \; \overrightarrow {e}_i \cdot \overrightarrow {e}_q \\ &= A_{ij} \; B_{ji} \; \end{aligned} \tag{1.5}\]
Le produit doublement contracté d’un tenseur d’ordre 4 \(\overline{\overline {\overline{\overline R} }}\) et d’un tenseur d’ordre 3 \(\overline {\overline{\overline S} }\) est défini par le tenseur d’ordre 3
\[\begin{aligned} \overline{\overline {\overline{\overline R} }} : \overline{\overline{\overline S} } &= \left( {R_{ijkl} \; \overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j \otimes \overrightarrow {e}_k \otimes \overrightarrow {e}_l } \right) : \left( {S_{pqr} \; \overrightarrow {e}_p \otimes \overrightarrow {e}_q \otimes \overrightarrow {e}_r } \right) \\ &= R_{ijkl} \; S_{pqr} \; \overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j \otimes \overrightarrow {e}_k \otimes \overrightarrow {e}_l : \otimes \overrightarrow {e}_p \otimes \overrightarrow {e}_q \otimes \overrightarrow {e}_r \\ &= R_{ijkm} \; S_{mqr} \; \overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j \otimes \overrightarrow {e}_k \cdot \overrightarrow {e}_q \otimes \overrightarrow {e}_r \\ &= R_{ijkm} \; S_{mkr} \; \overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j \otimes \overrightarrow {e}_r \end{aligned}\]
1.3 Changement de repère
1.3.1 Matrice de passage
Soit \(\overrightarrow {e}_1 ,\;\overrightarrow {e}_2,\;\overrightarrow {e}_3\) une base orthonormée et \({\overrightarrow {e'}}_1 ,\;{\overrightarrow {e'}}_2,\;{\overrightarrow {e'}}_3\) une autre base orthonormée.
On définit la matrice de passage Q telle que:
\[\begin{array}{l} {\overrightarrow{e'}}_1 = Q_{11} \overrightarrow {e}_1 + Q_{12} \overrightarrow {e}_2 + Q_{13} \overrightarrow {e}_3 \\ {\overrightarrow {e'}}_2 = Q_{21} \overrightarrow {e}_1 + Q_{22} \overrightarrow {e}_2 + Q_{23} \overrightarrow {e}_3 \\ {\overrightarrow {e'}}_3 = Q_{31} \overrightarrow {e}_1 + Q_{32} \overrightarrow {e}_2 + Q_{33} \overrightarrow {e}_3 \\ \end{array}\]
ou encore, en notations indicielles
\[{\overrightarrow {e'}}_i = Q_{ij} \overrightarrow {e}_j\]
et en notation matricielle
\[\left\{ {\overrightarrow {e'}} \right\} = \left[ Q \right]\;\left\{ \overrightarrow {e} \right\}\]
Les deux bases étant orthonormées, on doit avoir
\[\delta _{ij} = {\overrightarrow {e'}}_i \cdot {\overrightarrow {e}}'_j = Q_{ik} \; \overrightarrow {e}_k \cdot Q_{jl} \; \overrightarrow {e}_l = Q_{ik} \; Q_{jl}\; \delta _{kl} = Q_{ik}\; Q_{jk}\]
ce qui montre que la matrice inverse de Q est Q\(^{T}\). En particulier on tire la relation inverse:
\[\overrightarrow {e}_i = Q_{ji} {\overrightarrow {e}}'_j\]
1.3.2 Changement de repère: Vecteurs
Soit \(\overrightarrow {V}\) un vecteur de composantes V\(_{i}\) dans la base \(\overrightarrow {e}_1 ,\;\overrightarrow {e}_2,\;\overrightarrow {e}_3\) et \(V'_{i}\) dans la base \({\overrightarrow {e'}}_1 ,\;{\overrightarrow {e'}}_2,\;{\overrightarrow {e'}}_3\).
\[\overrightarrow {V} = V_i \; \overrightarrow {e}_i = {V}'_i \; \overrightarrow {e'}_i\]
En utilisant la matrice de passage
\[\overrightarrow {V} = V_i \; \overrightarrow {e}_i = V_i \; Q_{ki} \; {\overrightarrow {e}}'_k\]
soit
\[{V}'_k = V_i \; Q_{ki} \quad \quad et\quad \quad V_k = {V}'_i \; Q_{ik}\]
ou encore, en notation matricielle
\[\left\{ {\overrightarrow {V}}' \right\} = \left[ Q \right]\;\left\{ \overrightarrow {V} \right\}\quad \quad et\quad \quad \left\{ \overrightarrow {V} \right\} = \left[ Q \right]^T\;\left\{ {\overrightarrow {V}}' \right\}\]
Remarque : le produit scalaire est un invariant, c’est à dire que cette fonction est indépendante du repère choisi.
En notation indicielle
\[{\overrightarrow {V}}'.{\overrightarrow {W}}' = {V}'_k {W}'_k = V_i Q_{ki} W_j Q_{kj} = \delta _{ij} V_i W_j = V_i W_i = \overrightarrow {V}.\overrightarrow {W}\]
et en notation matricielle
\[\begin{aligned} {\overrightarrow {V}}'.{\overrightarrow {W}}' &=& \left\langle {\overrightarrow {V}}' \right\rangle \left\{ {\overrightarrow {W}}' \right\} = \left( {\left[ Q \right]\left\{ \overrightarrow {V} \right\}} \right)^T\left[ Q \right]\left\{ \overrightarrow {W} \right\} \\&=& \left\langle \overrightarrow {V} \!\right\rangle \left[ Q \right]^T\left[ Q \right]\left\{ \overrightarrow {W} \right\} = \left\langle \overrightarrow {V} \right\rangle \left\{ \overrightarrow {W} \right\} = \overrightarrow {V}.\overrightarrow {W} \end{aligned}\]
1.3.3 Changement de repère: Application linéaire
Soit \(A\) une application linéaire, de composantes \(A_{ij}\) dans la base \(\overrightarrow {e}_1 ,\;\overrightarrow {e}_2,\;\overrightarrow {e}_3\). et \(A'_{ij}\) dans la base \({\overrightarrow {e'}}_1 ,\;{\overrightarrow {e'}}_2,\;{\overrightarrow {e'}}_3\).
En notation indicielle
\[{W}'_i = {A}'_{ik} {V}'_k = Q_{ij} W_j = Q_{ij} A_{jm} V_m = Q_{ij} A_{jm} Q_{km} {V}'_k\]
d’où
\[{A}'_{ik} = Q_{ij} A_{jm} Q_{km}\]
et en notation matricielle
\[\left\{ {\overrightarrow {W}}' \right\} = \left[ {A}' \right]\left\{ {\overrightarrow {V}}' \right\} = \left[ Q \right]\left\{ \overrightarrow {W} \right\} = \left[ Q \right]\left[ A \right]\left\{ \overrightarrow {V} \right\} = \left[ Q \right]\left[ A \right]\left[ Q \right]^T\left\{ {\overrightarrow {V}}' \right\}\]
soit
\[\left[ {A}' \right] = \left[ Q \right]\,\left[ A \right]\,\left[ Q \right]^T\]
1.3.4 Changement de repère: Forme bilinéaire
Soit \(A\) une application linéaire, de composantes \(A_{ij}\) dans la base \(\overrightarrow {e}_1 ,\;\overrightarrow {e}_2,\;\overrightarrow {e}_3\). et \(A'_{ij}\) dans la base \({\overrightarrow {e'}}_1 ,\;{\overrightarrow {e'}}_2,\;{\overrightarrow {e'}}_3\).
\[A(\overrightarrow {V},\overrightarrow {W}) = A_{ij} V_i W_j = {A}'_{ij} {V}'_i {W}'_j = A_{ij} Q_{ki} {V}'_k Q_{mj} {W}'_m\]
soit
\[{A}'_{km} = A_{ij} Q_{ki} Q_{mj}\]
et en notation matricielle
\[\begin{array}{l} A(\overrightarrow {V},\overrightarrow {W}) = \left\langle \overrightarrow {V} \right\rangle \left[ A \right]\left\{ \overrightarrow {W} \right\} = \left\langle {\overrightarrow {V}}' \right\rangle \left[ {A}' \right]\left\{ {\overrightarrow {W}}' \right\} = \\ \left( {\left[ Q \right]^T\left\{ {\overrightarrow {V}}' \right\}} \right)^T\left[ A \right]\,\left[ Q \right]^T\left\{ {\overrightarrow {W}}' \right\} = \left\langle {\overrightarrow {V}}' \right\rangle \left[ Q \right]\,\left[ A \right]\,\left[ Q \right]^T\left\{ {\overrightarrow {W}}' \right\} \\ \end{array}\]
soit
\[\left[ {A}' \right] = \left[ Q \right]\,\left[ A \right]\,\left[ Q \right]^T\]
1.3.5 Changement de repère: Tenseur d’ordre 2
Soit \(\overline{\overline T}\) un tenseur d’ordre 2, en notation indicielle
\[\overline{\overline T} = T_{ij} \overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j = {T}'_{ij} {\overrightarrow {e'}}_i \otimes {\overrightarrow {e'}}_j = T_{ij} Q_{ki} {\overrightarrow {e'}}_k \otimes Q_{mj} {\overrightarrow {e'}}_m = T_{ij} Q_{ki} Q_{mj} {\overrightarrow {e'}}_k \otimes {\overrightarrow {e}}'_m\]
puis
\[{T}'_{km} = T_{ij} \; Q_{ki} \; Q_{mj}\]