12 Loi de comportement élastique linéaire (en HPP)
12.1 Forme générale
À partir des observations expérimentales, on peut estimer que les contraintes dépendent linéairement des déformations. En l’absence d’effets thermiques et de contraintes initiales, on a:
\[\overline{\overline \sigma } (x,t)\; = \;\overline{\overline {\overline{\overline C} }} (x)\;:\;\overline{\overline \varepsilon } (x,t)\]
\(\overline{\overline {\overline{\overline C} }}\) est un tenseur du quatrième ordre, dont les composantes sont les coefficients d’élasticité du matériau.
\[\sigma _{ij}\;\overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j \; = \;C_{ijkl} \;\varepsilon _{kl}\; \overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j\]
En utilisant les propriétés de symétrie des tenseurs de contrainte et de déformation, on peut montrer que:
\[C_{ijkl} = C_{jikl}, \quad C_{ijkl} = C_{ijlk}, \quad C_{ijkl} = C_{klij} \;.\]
Le tenseur \(\overline{\overline {\overline{\overline C} }}\), dont la matrice représentative comporte 81 composantes, ne dépend donc plus que de 21 paramètres indépendants.
12.2 Matériau élastique homogène isotrope
Toutes les directions sont équivalentes, de telle sorte que la loi de comportement est invariante dans toute rotation de la configuration de référence. Ce modèle s’applique à la plupart des matériaux: acier, béton, ...
Si la configuration est libre de contraintes, alors la loi de comportement s’écrit:
\[\overline{\overline \sigma } \; = \; \lambda \; Tr(\overline{\overline \varepsilon } ) \; \overline{\overline I} \; + \; 2\;\mu \;\overline{\overline \varepsilon } \tag{12.1}\]
ou encore en notation indicielle
\[\sigma _{ij} \; \overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j \;= \; \left( \lambda \;\varepsilon _{kk} \;\delta _{ij} \; + \; 2\;\mu \;\varepsilon _{ij} \right) \overrightarrow {e}_i \otimes \overrightarrow {e}_j\]
Les coefficients matériels \(\lambda\) et \(\mu\), qui dépendent de la particule considérée, sont appelés les coefficients de Lamé. Leur expression en fonction du module d’Young E et du coefficient de Poisson \(\nu\), est
\[\mu \; = \;\frac{E}{2\;(1\; + \;\nu )}\quad \text{et}\quad \lambda \; = \;\frac{\nu \;E}{(1\; + \;\nu )\;(1\; - \;2\nu )}\quad\] ou \[E = \frac{\mu (3\lambda + 2\mu )}{\lambda + \mu }\quad \text{et} \quad \nu = \frac{\lambda }{2(\lambda + \mu )}\]
avec, en inversant Equation 12.1
\[\overline{\overline \varepsilon } \; = \; - \;\frac{\nu }{E}\;Tr(\overline{\overline \sigma } )\;\overline{\overline I} \; + \; \frac{1\; + \;\nu }{E}\;\overline{\overline \sigma } \tag{12.2}\]
12.3 Matériau élastique homogène orthotrope
Le matériau possède trois directions privilégiées deux à deux orthogonales. La loi de comportement est invariante par les symétries par rapport aux plans orthogonaux construits à partir de ces directions. Dans ces matériaux, on peut classer les tôles laminées, les composites tissés, le bois, certains bétons structurés, ...
Dans ce cas on montre que la matrice de comportement est définie par 9 paramètres indépendants. Dans le repère principal d’orthotropie, la loi se met sous la forme:
\[\label{eq3_5} \left\{ {\begin{array}{l} \varepsilon _{11} \\ \varepsilon _{22} \\ \varepsilon _{33} \\ 2\varepsilon _{12} \\ 2\varepsilon _{23} \\ 2\varepsilon _{13} \\ \end{array}} \right\}\quad = \quad \left[ {{\begin{array}{*{20}c} {\displaystyle\frac{1}{E_1 }} & {\displaystyle\frac{ - \nu _{12} }{E_1 }} & {\displaystyle\frac{ - \nu _{13} }{E_1 }} & 0 & 0 & 0 \\ {\displaystyle\frac{ - \nu _{21} }{E_2 }} & {\displaystyle\frac{1}{E_2 }} & {\displaystyle\frac{ - \nu _{23} }{E_2 }} & 0 & 0 & 0 \\ {\displaystyle\frac{ - \nu _{31} }{E_3 }} & {\displaystyle\frac{ - \nu _{32} }{E_3 }} & {\displaystyle\frac{1}{E_3 }} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {\displaystyle\frac{1}{G_{12} }} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & {\displaystyle\frac{1}{G_{23} }} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {\displaystyle\frac{1}{G_{13} }} \\ \end{array} }} \right]\quad \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\sigma _{11} } \\ {\sigma _{22} } \\ {\sigma _{33} } \\ {\sigma _{12} } \\ {\sigma _{23} } \\ {\sigma _{13} } \\ \end{array} }} \right\}\]
Avec les conditions de symétrie
\[\frac{\nu _{12} }{E_1 }\; = \;\frac{\nu _{21} }{E_2 }\quad \frac{\nu _{13} }{E_1 }\; = \;\frac{\nu _{31} }{E_3 }\quad \frac{\nu _{32} }{E_3 }\; = \;\frac{\nu _{23} }{E_2 }\]
12.4 Matériau élastique homogène isotrope transverse
Un matériau homogène isotrope transverse est tel que la matrice de comportement est invariante par toute rotation autour d’un axe privilégié. En utilisant cette invariance, on montre que seuls 5 paramètres indépendants caractérisent le comportement. Si l’axe est porté par la direction 3, on a alors:
\[\label{eq3_6} \left\{ {\begin{array}{l} \varepsilon _{11} \\ \varepsilon _{22} \\ \varepsilon _{33} \\ 2\varepsilon _{12} \\ 2\varepsilon _{23} \\ 2\varepsilon _{13} \\ \end{array}} \right\}\quad = \quad \left[ {{\begin{array}{*{20}c} {\displaystyle\frac{1}{E_1 }} \hfill & {\displaystyle\frac{ - \nu _{12} }{E_1 }} \hfill & {\displaystyle\frac{ - \nu _{13} }{E_1 }} \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\ {\displaystyle\frac{ - \nu _{21} }{E_1 }} \hfill & {\displaystyle\frac{1}{E_1 }} \hfill & {\displaystyle\frac{ - \nu _{13} }{E_1 }} \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\ {\displaystyle\frac{ - \nu _{31} }{E_3 }} \hfill & {\displaystyle\frac{ - \nu _{31} }{E_3 }} \hfill & {\displaystyle\frac{1}{E_3 }} \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill & {\displaystyle\frac{1}{G_{12} }} \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill & {\displaystyle\frac{1}{G_{13} }} \hfill & 0 \hfill \\ 0 \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill & 0 \hfill & {\displaystyle\frac{1}{G_{13} }} \hfill \\ \end{array} }} \right]\quad \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\sigma _{11} } \hfill \\ {\sigma _{22} } \hfill \\ {\sigma _{33} } \hfill \\ {\sigma _{12} } \hfill \\ {\sigma _{23} } \hfill \\ {\sigma _{13} } \hfill \\ \end{array} }} \right\}\]
12.5 Caractéristiques de quelques matériaux
Matériaux isotropes usuels:
| Matériau | \(E\) en Gpa | \(\nu\) | \(\rho\) en kg/l |
|---|---|---|---|
| acier | 210 | 0.285 | 7.8 |
| fonte grise | 90 à 120 | 0.29 | 7.1 |
| aluminium | 71 | 0.34 | 2.6 |
| béton | 10 | 0.15 | 2.4 |
| fibre de verre E | 73 | 0.15 | 2.54 |
| Graphite HM | 350 | 0.4 | 1.92 |
| résine époxy | 3.8 | 0.31 | 1.15 |
Matériaux composites:
| Unidirectionnel Verre/Epoxy 50% | Tissu Verre/Epoxy 50% | Unidirectionnel Carbone HT/Epoxy 50% | Unidirectionnel Kevlar/Epoxy 50% | |
|---|---|---|---|---|
| \(\rho\) en \(g/cm^{3}\) | 1,87 | 1,87 | 1,49 | 1,32 |
| \(E_{1}\) en \(Mpa\) | 38000 | 21000 | 116000 | 65000 |
| \(E_{2}\) en \(Mpa\) | 11500 | 21000 | 7500 | 4900 |
| \(\nu _{12}\) | 0,28 | 0,26 | 0,32 | 0,34 |
12.6 Critères de limite d’élasticité
Les critères de résistance que nous allons définir représentent des valeurs limites pour les contraintes maximales, et permettent de ce fait de garder un caractère élastique aux déformations.
12.6.1 Critère de Tresca
Il consiste à considérer de manière indépendante les trois contraintes de cisaillement maximal du tricercle de Mohr. Soit en fonction des contraintes principales
\[\label{eq3_7} Sup\left\{ {\left| {\sigma _I \; - \;\sigma _{II} } \right|,\;\left| {\sigma _I \; - \;\sigma _{III} } \right|,\;\left| {\sigma _{II} \; - \;\sigma _{III} } \right|} \right\}\quad \le \quad 2\sigma _e\]
12.6.2 Critère de Von-Mises
\[\label{eq3_8} \sqrt {\frac{1}{2}\;\left( {(\sigma _I \; - \;\sigma _{II} )^2\; + \;(\sigma _I \; - \;\sigma _{III} )^2\; + \;(\sigma _{II} \; - \;\sigma _{III} )^2} \right)} \quad \le \quad \sigma _e\]
ou encore
\[\sqrt {\frac{1}{2}\;\left( {(\sigma _{11} \; - \;\sigma _{22} )^2\; + \;(\sigma _{11} \; - \;\sigma _{33} )^2\; + \;(\sigma _{22} \; - \;\sigma _{33} )^2\; + \;6(\sigma _{12} ^2 + \sigma _{13} ^2 + \sigma _{23} ^2)} \right)} \quad \le \quad \sigma _e\]
12.6.3 6.3 Critère de Hill
le critère de Hill s’applique dans le cas de matériaux élastiques orthotropes
\[\label{eq3_9} F(\sigma _{11} - \sigma _{22} )^2 + H(\sigma _{11} - \sigma _{33} )^2 + G(\sigma _{22} - \sigma _{33} )^2 + 2L\sigma _{23}^2 + 2M\sigma _{13}^2 + 2N\sigma _{12}^2 = 1\]
où \(F\), \(G\), \(H\), \(L\), \(M\),\(N\) sont des constantes fonctions des contraintes à ruptures.