10 Théorèmes de l’énergie en élasticité linéaire
On note \(\overrightarrow u\), \(\overline{\overline{\varepsilon}}\) et \(\overline{\overline{\sigma}}\) les solutions du problème général d’élasticité linéaire. Les autres champs de déplacement seront notés \(\overrightarrow v\), ceux de déformations \(\overline{\overline{e}}\) et ceux de contraintes \(\overline{\overline{s}}\).
Un champ de déplacements \(\overrightarrow v\) est dit cinématiquement admissible (C.A.), si il satisfait:
- les conditions de régularité (continuité et différentiabilité)
- les conditions aux bords \(\overrightarrow v = \overrightarrow U_0\) sur \(\partial \Omega_U\)
Un champ de contraintes \(\overline{\overline{s}}\) est dit statiquement admissible (S.A.), si il satisfait les équation d’équilibre statique: \[div\,\overline{\overline s } + \overrightarrow {f} = \overrightarrow{0}\quad \quad \text{dans}\;\Omega\] \[\overline{\overline s } \,\overrightarrow {n} = \overrightarrow {F}\quad \quad \text{sur} \;\partial \Omega _F\]
On appelle énergie de déformation élastique d’un champ de déformations \(\overline{\overline{e}}\): \[W(\overline{\overline{e}}) = \displaystyle\frac{1}{2} \iiint_{\Omega} \overline{\overline {\overline{\overline C} }} \, \overline{\overline{e}} : \overline{\overline{e}} \, d\Omega\] où \(\overline{\overline{\overline{\overline C} }}\) est le tenseur de rigidité élastique du matériau.
On appelle énergie de déformation complémentaire d’un champ de contraintes \(\overline{\overline{s}}\): \[W^*(\overline{\overline{s}}) = \displaystyle\frac{1}{2} \iiint_{\Omega} \overline{\overline {\overline{\overline C} }}^{-1} \, \overline{\overline{s}} : \overline{\overline{s}} \, d\Omega\] où \(\overline{\overline{\overline{\overline C} }}^{-1}\) est le tenseur de souplesse du matériau.
On appelle énergie potentielle élastique d’un champ de déplacement \(\overrightarrow v\) (C.A.) soumis à des forces de volume \(\overrightarrow{f}\) et des forces de surface \(\overrightarrow{F}\): \[\xi(\overrightarrow v) = W(\nabla_s \overrightarrow v)) - \displaystyle\iiint_{\Omega} \overrightarrow{f} \cdot \overrightarrow{v} \, d\Omega - \displaystyle\iint_{\partial \Omega_F} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} \, d\partial \Omega_F\] où \(\nabla_s \overrightarrow v\) est le tenseur des déformations linéarisées associé au champ de déplacements \(\overrightarrow v\): \[\nabla_s \overrightarrow v = \displaystyle\frac{1}{2} \left( \nabla \overrightarrow v + {\nabla \overrightarrow v}^T \right)\]
On appelle énergie potentielle élastique complémentaire d’un champ de contrainte \(\overline{\overline{s}}\) (S.A.) : \[\xi^*(\overline{\overline{s}}) = - W^*(\overline{\overline{s}}) + \displaystyle\iint_{\partial \Omega_U} \overline{\overline{s}} \cdot \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{U}_0 \, d\partial \Omega\]
Pour tout champ de déformations \(\overline{\overline{e}}\) et tout champ de contraintes \(\overline{\overline{s}}\), on a: \[W(\overline{\overline{e}})\;+\; W^*(\overline{\overline{s}}) - \displaystyle\iiint_{\Omega} \overline{\overline{s}} : \overline{\overline{e}} \, d\Omega \geq 0\]
et l’égalité n’a lieu que si et seulement si \(\overline{\overline{e}}\) et \(\overline{\overline{s}}\) satisfont la loi de comportement : \(\overline{\overline \sigma }\; =\;\overline{\overline {\overline{\overline C} }}\;:\;\overline{\overline \varepsilon }\)
Le triplet \((\overrightarrow u, \overline{\overline{\varepsilon}}, \overline{\overline{\sigma}})\) est solution du problème d’élasticité linéaire, c’est à dire:
- \(\overrightarrow u\) est C.A.
- \(\overline{\overline{\varepsilon}}\,= \displaystyle\frac{1}{2} \left( \nabla \overrightarrow u + {\nabla \overrightarrow u}^T \right)\)
- \(\overline{\overline{\sigma}}\) est S.A.
- \(\overline{\overline{\sigma}} = \overline{\overline {\overline{\overline C} }} : \overline{\overline{\varepsilon}}\)
si et seulement si:
\(\forall \; \overrightarrow v\) C.A. et \(\forall \; \overline{\overline{s}}\) S.A. on a: \[\xi(\overrightarrow v) \geq \xi(\overrightarrow u) \,=\, \xi^*(\overline{\overline{\sigma}}) \geq \xi^*(\overline{\overline{s}})\]
Dit autrement, le champ de déplacement \(\overrightarrow u\) solution du problème d’élasticité est celui qui minimise l’énergie potentielle du système mécanique. Cette approche de résolution, via les formulations variationnelles, est par exemple à la base de la méthode des éléments finis.