4 Contraintes généralisées
En tenant compte de la cinématique particulière des poutres, nous allons expliciter dans le cadre du principe du travail virtuel l’expression du travail des efforts intérieurs
\[\Pi_{int}\left(\overline{\overline{\sigma}}, \overline{\overline{\delta \varepsilon}} \right) \; = \; - \iiint_{\Omega} {\overline{\overline{\sigma}} : \overline{\overline{\delta \varepsilon}}\;dX_1 dX_2 dX_3 } \tag{4.1}\]
où \(\overline{\overline{\delta \varepsilon}}\) désigne une déformation virtuelle, et \(\overline{\overline{\sigma}}\) l’état de contrainte dans la poutre. Nous choisirons bien sûr, d’après Equation 3.1, \(\overline{\overline{\delta \varepsilon}}\) de la forme
\[\overline{\overline \delta \varepsilon } \; = \;\left[ \begin{array}{ccc} \delta a_1 + \delta \chi_2 X_3 - \delta \chi_3 X_2 & Sym & Sym \\ \frac{1}{2}\left( \delta a_2 - \delta \chi_1 X_3 \right) & \delta v_{2,2} & Sym \\ \frac{1}{2}\left( \delta a_3 + \delta \chi_1 X_2 \right) & \frac{1}{2}\left( \delta v_{2,3} + \delta v_{3,2} \right) & \delta v_{3,3} \end{array} \right] \tag{4.2}\]
\[\overline{\overline \sigma } \; = \;\left[ \begin{array}{ccc} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{12} & \color{red}{0} & \color{red}{0} \\ \sigma_{13} & \color{red}{0} & \color{red}{0} \end{array} \right] \tag{4.3}\]
En effet, si les sections planes sont libres de se déformer dans leur plan, alors les contraintes de cisaillement dans le plan \(\sigma_{22},\;\sigma_{33},\;\sigma_{23}\) sont nulles.
En décomposant l’intégrale de volume Equation 4.1 en utilisant Equation 2.2, on obtient
\[-\Pi_{int}\left(\overline{\overline{\sigma}}, \overline{\overline{\delta \varepsilon}} \right) \; = \; \iiint_{\Omega} {\overline{\overline{\sigma}} : \overline{\overline{\delta \varepsilon}}\;dX_1 dX_2 dX_3 } \; = \; \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\left( \iint_{S(X_1)} {{\overline{\overline{\sigma}} : \overline{\overline{\delta \varepsilon}} \;dX_2 dX_3} } \right)dX_1}} \]
En portant Equation 4.2 et Equation 4.3 dans Equation 4.1, on peut développer \[\begin{aligned} -\Pi_{int}\left(\overline{\overline{\sigma}}, \overline{\overline{\delta \varepsilon}} \right) \; &= \; \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\left( {\iint_{S(X_1)} {\sigma_{11} \left( \delta a_1 + \delta \chi_2 X_3 - \delta \chi_3 X_2 \right) \;dX_2 dX_3} } \right)dX_1}} \\ &+ \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\left( {\iint_{S(X_1)} {\sigma_{12} \left( \delta a_2 - \delta \chi_1 X_3 \right) \;dX_2 dX_3} } \right)dX_1}} \\ &+ \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\left( {\iint_{S(X_1)} {\sigma_{13} \left( \delta a_3 + \delta \chi_1 X_2 \right) \;dX_2 dX_3} } \right)dX_1}} \end{aligned}\]
Enfin, en tenant compte du fait que les déformations virtuelles généralisées ne dépendent que de \(X_1\), on obtient \[\begin{aligned} -\Pi_{int}\left(\overline{\overline{\sigma}}, \overline{\overline{\delta \varepsilon}} \right) \; &= \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\delta a_1 \left( \color{blue}{{\iint_{S(X_1)} {\sigma_{11} \;dX_2 dX_3}}} \right)dX_1}} \\ &+ \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\delta a_2 \left( \color{blue}{{\iint_{S(X_1)} {\sigma_{12} \;dX_2 dX_3}}} \right)dX_1}} \\ &+ \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\delta a_3 \left( \color{blue}{{\iint_{S(X_1)} {\sigma_{13} \;dX_2 dX_3}}} \right)dX_1}} \\ &+ \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\delta \chi_1 \left( \color{blue}{{\iint_{S(X_1)} {\left( \sigma_{13} X_2 -\sigma_{12} X_3 \right) \;dX_2 dX_3}}} \right) dX_1}} \\ &+ \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\delta \chi_2 \left( \color{blue}{{\iint_{S(X_1)} {\sigma_{11} X_3 \;dX_2 dX_3}}} \right)dX_1}} \\ &- \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\delta \chi_3 \left( \color{blue}{{\iint_{S(X_1)} {\sigma_{11} X_2 \;dX_2 dX_3}}} \right)dX_1}} \end{aligned}\]
On définit ainsi 3 quantités homogènes à une force : \[T_1 = \iint_{S(X_1)} {\sigma_{11} \;dX_2 dX_3}\] \[T_2 = \iint_{S(X_1)} {\sigma_{12} \;dX_2 dX_3}\] \[T_3 = \iint_{S(X_1)} {\sigma_{13} \;dX_2 dX_3}\] et trois quantités homogènes à un moment : \[M_1 = \iint_{S(X_1)} {\left( \sigma_{13} X_2 -\sigma_{12} X_3 \right) \;dX_2 dX_3}\] \[M_2 = \iint_{S(X_1)} {\sigma_{11} X_3 \;dX_2 dX_3}\] \[M_3 = - \iint_{S(X_1)} {\sigma_{11} X_2 \;dX_2 dX_3}\]
avec ces notations, on écrit simplement le travail virtuel des efforts intérieurs sous la forme \[-\Pi_{int} \; = \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\left( {T_1 \delta a_1 + T_2 \delta a_2 + T_3 \delta a_3 + M_1 \delta \chi_1 + M_2 \delta \chi_2 + M_3 \delta \chi_3} \right)dX_1}} \tag{4.4}\]
ou encore, on définit ainsi
\[ \overrightarrow{T}(X_1) \; = \; \left\{ \begin{array}{c} T_1 \\ T_2 \\ T_3 \end{array} \right\}\; = \; \iint_{S(X_1)} {\overline{\overline \sigma } \, \vec e_1 \; dS} \tag{4.5}\] \[ \overrightarrow{M}(X_1) \; = \; \left\{ \begin{array}{c} M_1 \\ M_2 \\ M_3 \end{array} \right\}\; = \; \iint_{S(X_1)} {\overrightarrow{X_1X} \wedge \left( \overline{\overline \sigma } \, \vec e_1 \right) \; dS} \tag{4.6}\]
On appelle \(T_1\) l'effort normal, \(T_2\) et \(T_3\) les efforts tranchants, \(M_1\) le moment de torsion, \(M_2\) et \(M_3\) les moments de flexion.
Si on considère la partie de la poutre à gauche de la section \(S(X_1)\), alors la normale unitaire sur \(S(X_1)\) sortante est \(\vec e_1\); la densité surfacique de force exercée par la partie droite de la poutre sur la partie gauche est \(\overline{\overline \sigma } \,\vec e_1\), c’est à dire le vecteur de composante \(\sigma_{11},\sigma_{12},\sigma_{13}\). En conséquence,
La contrainte généralisée \(\left(\overrightarrow{T}(X_1),\overrightarrow{M}(X_1) \right)\) est constituée des éléments de réduction, au centre de la section \(S(X_1)\), du torseur des forces appliquées par la partie droite de la poutre sur la partie gauche!
Certains états de sollicitation élémentaires sont appelés sollicitations simples, ils correspondent à des cas de chargement fréquemment rencontrés. Leur étude permet par le théorème de superposition l’étude de cas plus complexes appelés sollicitations combinées.
| \(T_1\) | \(T_{2 ou 3}\) | \(M_1\) | \(M_{2 ou 3}\) | Désignation |
|---|---|---|---|---|
| ≠0 | 0 | 0 | 0 | Traction ou compression simple |
| 0 | ≠0 | 0 | 0 | Cisaillement pur |
| 0 | 0 | ≠0 | 0 | Torsion pure |
| 0 | 0 | 0 | ≠0 | Flexion pure |
| 0 | ≠0 | 0 | ≠0 | Flexion simple |
| ≠0 | 0 | 0 | ≠0 | Flexion composée |