2 Efforts généralisés
La géométrie des poutres implique que les sollicitations extérieures peuvent être considérées comme,
soit une force surfacique sur une partie de la surface latérale que l’on décompose en plusieurs “tronçons” \(\left[ X_1^i; X_1^{i + 1} \right] \in \partial S \quad i \in \left\{ 1, \cdots ,J \right\}\) avec \(X_1^1 = 0\) et \(X_1^J = L\)
soit une force surfacique sur les sections extrémités en \(X_1^1 = 0\) et \(X_1^J = L\)
soit une force volumique
Pour établir la théorie des poutres, nous allons utiliser le principe de travaux virtuels. Dans un premier temps, nous allons donc définir le travail virtuel des efforts extérieurs.
Soit \(\delta\overrightarrow {u}\) un déplacement virtuel et soit \(\left(\overrightarrow {f}, \overrightarrow {F} \right)\) un système de forces extérieures, composé d’une densité volumique de forces et d’une densité surfacique de forces. Le travail virtuel des efforts extérieurs s’écrit alors : \[\Pi_{ext}\left(\overrightarrow {f}, \overrightarrow {F} \right) \; = \; \iiint_{\Omega} {\overrightarrow {f} \cdot \delta\overrightarrow {u}\;dX_1 dX_2 dX_3 } \; + \; \iint_{\partial \Omega} {\overrightarrow {F} \cdot \delta\overrightarrow {u}\;ds } \tag{2.1}\]
où \(ds\) représente un élément de mesure de la surface \(\partial \Omega\). Afin de tenir compte du caractère linéique de la poutre, on décompose les intégrales de telle sorte que \[ \iiint_{\Omega} {\bullet \;dX_1 dX_2 dX_3 }= \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\left( {\iint_{S(X_1)} {\bullet \;dX_2 dX_3} } \right)dX_1}} \tag{2.2}\]
Si bien que (Equation 2.1) s’écrit \[\Pi_{ext}\left(\overrightarrow {f}, \overrightarrow {F} \right) \; = \; \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\left( {\iint_{S(X_1)} {\overrightarrow {f} \cdot \delta\overrightarrow {u}\;dX_2 dX_3} } \right)dX_1}} \; + \; \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\left( {\int_{\partial S(X_1)} {\overrightarrow {F} \cdot \delta\overrightarrow {u}\;dl} } \right)dX_1}} \]
On choisit alors un déplacement virtuel en accord avec le caractère linéique de la théorie des poutres, c’est-à-dire un déplacement virtuel “généralisé” \(\left( \delta\overrightarrow {u}^f(X_1),\delta\overrightarrow {\omega}(X_1)\right)\) de la forme :
\[\delta\overrightarrow {u}(\overrightarrow {X})\; = \; \delta\overrightarrow {u}^f(X_1) \; + \delta\overrightarrow {\omega} (X_1) \wedge \overrightarrow {X_1 X}\; = \;\left\{ \begin{array}{c} \delta u_1^f \\ \delta u_2^f \\ \delta u_3^f \end{array} \right\} \; + \; \left\{ \begin{array}{c} \delta \omega_1 \\ \delta \omega_2 \\ \delta \omega_3 \end{array} \right\} \wedge \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ X_2 \\ X_3 \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} \delta u_1^f \; + \;\delta \omega_2\;X_3\; - \; \delta \omega_3\;X_2 \\ \delta u_2^f \; - \;\delta \omega_1\;X_3\; \\ \delta u_3^f \; + \;\delta \omega_1\;X_2\; \end{array} \right\} \]
En utilisant la propriété du produit mixte \(\left( {(\vec a \wedge \vec b) \cdot \vec c = \vec a \cdot (\vec b \wedge \vec c)} \right)\) et en utilisant le fait que le déplacement virtuel généralisé ne dépende que de \(X_1\), on a finalement:
\[\begin{aligned} \Pi_{ext}\left(\overrightarrow {f}, \overrightarrow {F} \right) \; &= \; \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\delta\overrightarrow {u}^f \cdot \left( \iint_{S(X_1)} {\overrightarrow {f} \;dX_2 dX_3} \; + \;\int_{\partial S(X_1)} {\overrightarrow {F} \;dl} \right)dX_1}} \\ &+ \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\delta\overrightarrow {\omega} \cdot \left( \iint_{S(X_1)} {\overrightarrow {X_1 X} \wedge \overrightarrow {f} \;dX_2 dX_3} \; + \;\int_{\partial S(X_1)} {\overrightarrow {X_1 X} \wedge \overrightarrow {F} \;dl} \right)dX_1}} \end{aligned} \tag{2.3}\]
Posons \[ \overrightarrow {f}^f(X_1) \; = \; \iint_{S(X_1)} {\overrightarrow {f} \; dX_2 dX_3} \; + \;\int_{\partial S(X_1)} {\overrightarrow {F} \;dl}\] \[\overrightarrow {c}^f(X_1) \; = \; \iint_{S(X_1)} {\overrightarrow {X_1 X} \wedge \overrightarrow {f} \;dX_2 dX_3} \; + \;\int_{\partial S(X_1)} {\overrightarrow {X_1 X} \wedge \overrightarrow {F} \;dl} \]
On appelle \(\left( \overrightarrow {f}^f \; , \; \overrightarrow {c}^f \right)\) les efforts généralisés appliqués à la poutre.
\(\overrightarrow {f}^f\) est une force linéique en N/m. \(\overrightarrow {c}^f\) est un couple linéique en Nm/m
Intégré sur un petit intervalle \(\left[ X_1^i;X_1^{i + 1} = X_1^i + \delta \right],\;\delta \ll 1\), on peut considérer que les efforts généralisés sont indépendants de \(X_1\). Si bien que, par un passage à la limite on peut ainsi définir des forces ponctuelles \(\overrightarrow F ^i(X_1^i)\) et des couples ponctuels \(\overrightarrow C ^i(X_1^i)\).