7 Traction / Compression
7.1 Définition
On dit qu'une poutre est dans un état de traction (ou compression) quand le torseur des actions extérieures est de la forme :
\(T_1 \ne 0\), \(T_2 = 0\), \(T_3 = 0\), \(M_1 = 0\), \(M_2 = 0\), \(M_3 = 0\)
On peut se retrouver dans cette situation quand :
\(\vec f^f = f^f\vec e_1\), \(\vec c^f = \vec 0\), \(\vec F^i = F^i\vec e_1\), \(\vec C^i = \vec 0\)
lorsque la longueur est supérieure à environs 8 fois la plus grande dimension transversale, une poutre sollicitée en compression est calculée au “flambement”.
7.2 Déformations et contraintes
De Equation 6.2 on déduit : \[T_1 \,=\, a_1\,E\,S\quad , a_2\,=\, a_3\,=\,0, \quad \chi_1 \,=\,\chi_2 \,=\, \chi_3\,=\,0\]
Le tenseur des contraintes qui satisfait l'équilibre est de la forme :
\[\overline{\overline \sigma } \; = \;\left[ \begin{array}{ccc} \sigma_{n} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\]
où \(\sigma_{n}\) est une valeur constante dans toute la section. On obtient alors pour le tenseur des déformations :
\[\overline{\overline \varepsilon } \; = \;\left[ \begin{array}{ccc} \displaystyle\frac{\sigma_n}{E} & 0 & 0 \\ 0 &-\nu \displaystyle\frac{\sigma_n}{E} & 0 \\ 0 & 0 & -\nu \displaystyle\frac{\sigma_n}{E} \end{array} \right]\]
Relation de la contrainte avec l'effort normal
On sait que \[T_1 \; = \; \iint_{S(X_1)} {\sigma_{n} \;dS} \] donc dans notre cas
\[\sigma_{n} \; = \; \displaystyle\frac{T_1}{S}\]
Allongement de la poutre
Soit \(\Delta L\) l'allongement subi par une poutre de longueur \(L\). Par définition
Dans le cas présent, le déplacement d'une section droite est une translation d'axe \(\vec e_1\).
\[\varepsilon _{11}\; = \;\displaystyle\frac{du_1}{dX_1}\; =\;\displaystyle\frac{\sigma _n}{E}\]
Soit \[\Delta L \; = \; \int_{0}^{L} {\varepsilon _{11} \; dX_1} \; = \; \int_{0}^{L} {\displaystyle\frac{\sigma _n}{E} \; dX_1} \; = \; \int_{0}^{L} {\displaystyle\frac{T_1}{S\,E} \; dX_1} \]
Si la section de la poutre, l’effort normal et la constitution de la poutre sont constants
\[\Delta L\; = \;\displaystyle\frac{T_1\;L}{S\;E}\]