5 Équilibre
Nous allons maintenant appliquer le principe des travaux virtuels pour déterminer les équations d’équilibre. Pour tout déplacement virtuel, on doit avoir
\[\Pi_{ext} + \Pi_{int} = 0\]
Nous avons d’après Equation 2.3, en incluant des forces ponctuelles et des couples ponctuels \[\begin{aligned} \Pi_{ext}\left(\overrightarrow {f}, \overrightarrow {F} \right) \; &= \; \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\delta\overrightarrow {u}^f \cdot \overrightarrow {f}^f(X_1) dX_1}} \, + \, \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\delta\overrightarrow {\omega} \cdot \overrightarrow {c}^f(X_1) dX_1}} \\ &+ \sum_{i=1}^{J}{\delta\overrightarrow {u}^f(X_1^i) \cdot \overrightarrow {F}^i} \, + \, \sum_{i=1}^{J}{\delta\overrightarrow {\omega}(X_1^i) \cdot \overrightarrow {C}^i} \end{aligned}\]
et d’après Equation 4.4, en utilisant la définition des déformations généralisées Equation 3.2,
\[-\Pi_{int} \; = \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\left( \delta \overrightarrow{u}^f_{,1} \cdot \overrightarrow{T} - \delta \omega_3 T_2 + \delta \omega_2 T_3 + \delta \overrightarrow{\omega}_{,1} \cdot \overrightarrow{M} \right)dX_1}} \]
Soit en remarquant que \(\vec e_1 \wedge \vec T = T_2\vec e_3 - T_3\vec e_2\) \[-\Pi_{int} \; = \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\left( \delta \overrightarrow{u}^f_{,1} \cdot \overrightarrow{T} + \delta \overrightarrow{\omega}_{,1} \cdot \overrightarrow{M} - \delta \overrightarrow{\omega} \cdot \left( \overrightarrow e_1 \wedge \overrightarrow T \right)\right)dX_1}} \]
En effectuant une intégration par partie et en notant \(X_1^{i^+}\) la valeur de \(X_1^i\) pris par valeur supérieure et \(X_1^{i^-}\) la valeur de \(X_1^i\) pris par valeur inférieure, on obtient \[\begin{aligned} \Pi_{int} \; &= \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\left( \delta \overrightarrow{u}^f \cdot \overrightarrow{T}_{,1} + \delta \overrightarrow{\omega} \cdot \overrightarrow{M}_{,1} + \delta \overrightarrow{\omega} \cdot \left( \overrightarrow e_1 \wedge \overrightarrow T \right)\right)dX_1}} \\ &- \sum_{i=1}^{J-1} {\left[ \delta \overrightarrow{u}^f \cdot \left( \overrightarrow T (X_1^{{i+1}^-}) - \overrightarrow T (X_1^{i^+})\right) + \delta \overrightarrow{\omega} \cdot \left( \overrightarrow M (X_1^{{i+1}^-}) - \overrightarrow M (X_1^{i^+})\right) \right]} \end{aligned}\]
Soit en considérant les contributions nulles en dehors de la poutre en \(X_1^{1^-}\) et \(X_1^{J^+}\) \[\begin{aligned} \Pi_{int} \; &= \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\left( \delta \overrightarrow{u}^f \cdot \overrightarrow{T}_{,1} + \delta \overrightarrow{\omega} \cdot \overrightarrow{M}_{,1} + \delta \overrightarrow{\omega} \cdot \left( \overrightarrow e_1 \wedge \overrightarrow T \right)\right)dX_1}} \\ &+ \sum_{i=1}^{J} {\left[ \delta \overrightarrow{u}^f \cdot \left( \overrightarrow T (X_1^{{i}^+}) - \overrightarrow T (X_1^{i^-})\right) + \delta \overrightarrow{\omega} \cdot \left( \overrightarrow M (X_1^{{i}^+}) - \overrightarrow M (X_1^{i^-})\right) \right] } \end{aligned}\]
Enfin en application du principe des travaux virtuels
\[\begin{aligned} & \sum_{i=1}^{J-1}{\int_{X_1^i}^{X_1^{i+1}} {\left( \delta \overrightarrow{u}^f \cdot \left(\overrightarrow{T}_{,1} + \overrightarrow {f}^f \right) + \delta \overrightarrow{\omega} \cdot \left( \overrightarrow{M}_{,1} + \overrightarrow e_1 \wedge \overrightarrow T + \overrightarrow {c}^f \right)\right)dX_1}} \\ &+ \sum_{i=1}^{J} {\left[ \delta \overrightarrow{u}^f \cdot \left( \overrightarrow {F}^i + \overrightarrow T (X_1^{{i}^+}) - \overrightarrow T (X_1^{i^-})\right) + \delta \overrightarrow{\omega} \cdot \left( \overrightarrow {M}^i + \overrightarrow M (X_1^{{i}^+}) - \overrightarrow M (X_1^{i^-})\right) \right] } \;=\;0 \end{aligned} \tag{5.1}\]
Comme Equation 5.1 est vérifié pour tout déplacement virtuel, on obtient pour l’équilibre
\[\begin{aligned} \text{Pour chaque intervalle } \left] X_1^i; X_1^{i+1} \right[: \quad & \overrightarrow{T}_{,1} + \overrightarrow {f}^f \;=\; \overrightarrow 0 \\ & \overrightarrow{M}_{,1} + \overrightarrow e_1 \wedge \overrightarrow T + \overrightarrow {c}^f \;=\; \overrightarrow 0 \\ \text{Sur chaque section } X_1^i: \quad & \overrightarrow {F}^i + \overrightarrow T (X_1^{{i}^+}) - \overrightarrow T (X_1^{i^-}) \;=\; \overrightarrow 0 \\ & \overrightarrow {C}^i + \overrightarrow M (X_1^{{i}^+}) - \overrightarrow M (X_1^{i^-}) \;=\; \overrightarrow 0 \end{aligned}\]
Sur un tronçon de poutre \(\left] X_1^i,X_1^{i + 1} \right[\) non chargé, on a \(\vec T_{,1} = \vec 0\) et \(\vec M_{,1} + \vec e_1\wedge \vec T = \vec 0\)
soit en particulier \(\displaystyle\frac{dM_2}{dX_1}\; = \;T_3\) et \(\displaystyle\frac{dM_3}{dX_1}\; = \; - T_2\)